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Niveau terminale
Théorème d'Euclide
Posté par antetokounmpo
bonjour,
je bloque sur un exercice, je pense être pas loin mais bon... voici le sujet:
3.le but est de démontrer le théorème d'euclide, posons a=2^(n)*(2^(n+1)-1) et supposons 2^(n+1)-1 premier.
a. quelle est la decomposition de a en facteurs premiers ? en déduire la liste des diviseurs positifs de a.
ici puisque 2^(n+1)-1 est premier et 2 est premier, alors on aura: 2*2*2*2*..........*2*2*(2^(n+1)-1).
ensuite je pense qu'on peut voir ça un peu comme une boucle "tant que" en gros c'est 2^(i) pour i allant de 0 à n; et aussi 2^(i)*(2^(n+1)-1) toujours pour i allant de 0 à n.
b. prouver que la somme des diviseurs de a est 2a. conclure.
ici je fais la somme des diviseurs mais prouver que c'est = à 2a je vois pas...
merci de l'aide
Bonsoir,
pgeod, il me semble que ces diviseurs ont été cités
b) La somme des diviseurs est égale à :
somme des 2i + (somme des 2i)*(2n+1 - 1)
On a un facteur commun
Et la somme des 2i est égale à ......
somme des 2^i pour i allant de 0 à n est égale à 2^(n+1)-1 non ?
si oui ca donne: (2^(n+1)-1)+(2^(n+1)-1)*(2^(n+1)-1)= (2^(n+1)-1)+(2^(n+1)-1)²=(2^(n+1)-1)+(2^(n+1))²-2*2^(n+1)+1=2^(n+1)-1+2^(2n+2)-2^(n+2)+1
=2^(n+1)+2^(2n+2)-2^(n+2) mais après je vois pas comment continuer...
mathafou @ 07-03-2019 à 10:04
et toi tu développes ??
Citation :
On a un facteur commun
On a un facteur commun
et toi tu développes ??
en factorisant ça fait, (somme des 2^(i))(1+2^(n+1)-1)=(somme des 2^(i))(2^(n+1))
=(2^(n+1)-1)(2^(n+1))
et je vois pas à quoi ça sert...
je crois que je commence à avoir une idée...
a=(2^n)(2^(n+1)-1)=(2^(n+1)-1)(2^n)
somme des diviseurs de a =(2^(n+1)-1)(2^(n+1))= (2^(n+1)-1)(2^(n)*2)=2*(2^(n+1)-1)(2^n)= 2*a
merci beaucoup pour votre aide