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Niveau maths spé
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Théorème d'intégration terme à terme !

Posté par
kzl
22-02-12 à 21:05

Bonsoir,

J'ai une application xe-x et montrer ça convergence normale sur ]O;+[ en vue de pouvoir appliquer le théorème d'intégration terme à terme sur [0;+[ à la somme de cette intégrale.

(en sachant que je vous donne qu'un morceau d'exercice)

Donc ce que j'ai pensé à faire c'était d'introduire un réel a>0 tel que la convergence normale soit prouvée sur [a;+[. et donc par suite en prolongeant par continuité qu'elle soit vérifiée sur ]0;+[

Sauf que je pense que pour pouvoir appliquer le théorème il faudrait que j'ai la convergence uniforme sur l'intervalle [0;+[ fermé en 0 non ?

Pourriez-vous m'éclairer sur le sujet ?! Merci ^^'

Posté par
carpediem
re : Théorème d'intégration terme à terme ! 22-02-12 à 22:53

salut

propos sans aucun sens ...

Posté par
Narhm
re : Théorème d'intégration terme à terme ! 22-02-12 à 22:56

Re-Bonsoir,

Citation :
(en sachant que je vous donne qu'un morceau d'exercice)

Effectivement, ce ne sont que les miettes d'un exercice.
En tout cas, on ne comprend rien : que vient faire l'application exponentielle avec "ça" convergence normale ? Qui converge ?
Citation :
en vue de pouvoir appliquer le théorème d'intégration terme à terme sur [0;+[ à la somme de cette intégrale

De quelle intégrale ?

En Spé math, on voit deux théorèmes d'intégration "termes à termes" :
- sur un segment [a,b] : il faut une suite de fonctions (f_n) continue dont la série de fonctions de t.g. (f_n) soit uniformément convergente sur [a,b].
- sur un intervalle quelconque :  il faut une série de fonctions \sum f_n continue par morceaux convergeant simplement sur I vers une fonction continue par morceaux dont
      ¤ chaque f_n est intégrable sur I

      ¤ \sum \int_I|f_n(t)|dt converge.
Sans plus d'information et de clarté, on ne pourra pas t'en dire plus.

Posté par
Narhm
re : Théorème d'intégration terme à terme ! 22-02-12 à 22:57

Salut Carpediem

Posté par
carpediem
re : Théorème d'intégration terme à terme ! 22-02-12 à 22:59

hello Narhm  

alors ce doctorat ?

Posté par
Narhm
re : Théorème d'intégration terme à terme ! 22-02-12 à 23:11

Difficile de se lancer dans une autocritique objective ...
J'ai l'impression de voir le temps défiler à toute vitesse : tout va très très vite sans que pour autant, je n'observe d'avancer significative. On a tellement de temps et si peu à la fois.
Pour le moment je ne maitrise toujours pas mon sujet mais j'apprends plein de choses à coté, dans d'autres domaines (que mon domaine principal) qui m'intéressent.
C'est très enrichissant.

Posté par
kzl
re : Théorème d'intégration terme à terme ! 22-02-12 à 23:28

Hum, j'ai pas relu la première phrase désolé.

Citation :
J'ai une application xe-x et je veux montrer que cette application convergence normale sur ]O;+[ en vue de pouvoir appliquer le théorème d'intégration terme à terme sur [0;+[ à la somme de l'intégrale de cette application.


Si j'ai dis que j'ai mis qu'un bout d'exercice, c'est pcq mon problème est tiré d'un sujet CCP et que ça n'a pas vraiment de sens que j'écrive l'énoncé puisque c'est le résultat d'un calcul ^^
D'où le "morceau d'exercice".

Merci en tout cas pour le rappel de cours!!
Citation :
En Spé math, on voit deux théorèmes d'intégration "termes à termes" :
- sur un segment [a,b] : il faut une suite de fonctions (f_n) continue dont la série de fonctions de t.g. (f_n) soit uniformément convergente sur [a,b].
- sur un intervalle quelconque :  il faut une série de fonctions \sum f_n continue par morceaux convergeant simplement sur I vers une fonction continue par morceaux dont
      ¤ chaque f_n est intégrable sur I

      ¤ \sum \int_I|f_n(t)|dt converge.

Je n'avais pas compris que le second cas s'appliquait sur un intervalle quelconce. Ce qui me permet de résoudre mon problème je pense, puisque je me demandais si je pouvais appliquer le théorème d'intégration sur le segment [0;+[ alors que je n'avais que la convergence uniforme sur ]O;+[.

Qui du coup je pense n'est pas applicable dans le cas du premier théorème d'intégration terme à terme, puisque je dois intégrer sur un segment ! et que là j'ai un ouvert ^^

non ?

Merci du coup de main et désolé du manque de clarté, je veillerai à corrigé ça à l'avenir ^.^

Posté par
carpediem
re : Théorème d'intégration terme à terme ! 22-02-12 à 23:29

c'est effectivement aussi un objectif :: le questionnement permanent nous invite à aller voir ailleurs ... mais/et parfois on a l'impression que l'objectif principal stagne ... mais on s'enrichit et ça n'est jamais perdu ....


Posté par
Narhm
re : Théorème d'intégration terme à terme ! 22-02-12 à 23:39

@Carpediem : Merci du soutien, je tente de le prendre comme ça effectivement et puis on nous répète toujours que la première année c'est surtout (avoir le sentiment de) piétiner

@kzl : Encore une fois, pour parler de convergence, il faut une suite de quelques choses. Ici tu ne nous donnes que f:x\mapsto \exp(-x). Ça veut dire quoi pour toi que f convergence normalement ?
Et quand tu parles de la somme de l'intégrale de cette application i.e. f, je comprends toujours pas... tu sommes qui sur quoi ?

De toutes façons, il est clair que si tu n'es pas sur un segment, il faut t'orienter vers le deuxieme th. de permutations.

Posté par
kzl
re : Théorème d'intégration terme à terme ! 22-02-12 à 23:59

Désolé je viens de relire, hmm.. l'application c'était xe-nx :/

Merci du coup de main et toutes mes excuses pour les bétises proférés. J'aurai au moins compris la différence entre les 2 théorèmes ! =)

Posté par
Narhm
re : Théorème d'intégration terme à terme ! 23-02-12 à 00:03

Du coup, tu voulais montrer que \sum_{n=1}^{+\infty}\int_0^{+\infty}\exp(-nx)dx = \int_0^{+\infty}\sum_{n=1}^{+\infty}\exp(-nx)dx ?

Posté par
kzl
re : Théorème d'intégration terme à terme ! 23-02-12 à 00:22

Oui^^ Mais j'arrive pas encore à bien utiliser latex !

Posté par
Narhm
re : Théorème d'intégration terme à terme ! 23-02-12 à 00:36

Tu n'as pas du regarder attentivement tes fonctions parce que les deux objets sont bien égaux mais valent +oo.
¤ \int_0^{+\infty}\exp(-nx)dx=\dfrac{1}{n} et \sum_{n^\geq 1}\dfrac{1}n=+\infty

¤ pour tout x>0, \sum_{n=1}^{+\infty}\exp(-nx) = \sum_{n=1}^{+\infty}(\dfrac{1}{e^x})^n = \dfrac{1}{1-\frac{1}{e^x}}-1=\dfrac{1}{e^x-1} et \int_0^{+\infty}\dfrac{1}{e^x-1}dx=+\infty.



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