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Théorème de Bézout exercice classique

Posté par
nsmab
18-01-19 à 19:22

Bonjour j'essaye de résoudre cet exercice d'arithmétique :

  Déterminer tous les couples d'entiers naturels (x;y) tels que 6x-25y=100

D'abord j'aimerais bien savoir comment procéder pour trouver un couple solution de cette équation via euclide puis la remontée de Bézout mais je parviens pas.

Merci d'avance

Posté par
Glapion Moderateur
re : Théorème de Bézout exercice classique 18-01-19 à 19:30

Bonsoir, je te dis comment je fais habituellement, tu trouves un couple de solutions (par exemple ici x = 25 et y=2)
puis tu écris ces deux égalités l'une en dessous de l'autre
6x-25y=100
6*25-25*2=100
et tu les retranches membre à membre
6(x-25) = 25(y-2) puis après tu dis que x-25 doit donc diviser 25 autrement dit x = 25n
et tu en déduis y 6(25n-25) = 25(y-2) qui donne y=6n-4

Posté par
flight
re : Théorème de Bézout exercice classique 18-01-19 à 19:30

salut
par les congruences
25 = 1[6]   ---> 25y =y[6]
6 = 0[6]  ---> 6x = 0[6]

6x - 25y = ....[6]       et donc   y = ...[6]     à toi    puis apres il simple d'obtenir x

Posté par
carpediem
re : Théorème de Bézout exercice classique 18-01-19 à 23:53

salut

6x - 25y = 100 <=> 6x = 25(y + 4) <=> x = 25k et y = 6k - 4

pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ?

le couple (0, -4) est évidemment solution dans Z ... il suffit de commencer à partir du bon k pour être dans N



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