il me semble que ça veut simplement dire que comme E est voisin de chacun de ses points alors c'est un ouvert, car pour tout x de E, on est arrivé à trouver un voisinage (c'est l'intervalle ouvert) contenu dans E je laisse les autres s'exprimer sur le sujet

Bonjour,

je confirme ce que dit izaabelle:

Par définition, si x est dans E, le segment [a;x] est recouvert par un nombre fini d'ouverts initiaux .
Soit O celui qui contient x.Alors il existe un intervalle ouvert I contenant x et inclus dans O.
Pour tout y de I, [x;y] est inclus dans I donc dans O, et [a;x] est recouvert par les ouverts initiaux.
Ces ouverts recouvrent au final tout le segment [a,y] ce qui prouve que y appartient à E.
Cela étant vrai pour tout point y du voisinage I de x, et ce pour tout x de E, on a prouvé que E était ouvert.
En fait le passage par I me semble inutile, on pourrait travailler avec O directement.

En revanche, la fin pourrait être mieux rédigée:
l'auteur devrait insister sur le fait que tout ouvert C contenant la borne sup c coupe nécessairement [a;c] en un
b < c.Par définition de la borne sup, il existe b' entre b et c tel que b' soit dans E, donc tel que [a;b'] soit recouvert par un nombre fini d'ouverts.En adjoignant à cette famille l'ouvert C, on obtient une famille finie d'ouverts initiaux recouvrant [a;c] d'où c appartient encore à E.

Sauf erreur de ma part bien-sûr
Tigweg

Paufinons le tout, tant qu'on y est.

il manque aussi la démonstration du fait que E est fermé (elle se traite de façon exactement analogue à celui de la borne sup en utilisant la caractérisation séquentielle(à l'aide des suites) des fermés).

Il manque enfin le fait que tout segment F est connexe, donc comme E en est un sous-espace à la fois fermé et ouvert, il est -par définition- vide ou égal à F.Or il n'est pas vide
Pour prouver qu'un segment est connexe, il suffit de remarquer que tout segment est convexe (il contient tous les barycentres à coefficients strictement positifs de deux quelconques de ses ponts par définition d'un intervalle), ce qui implique la connexité.


Tigweg

Merci de votre réponse mais quelquechose m'échappe encore, je reprends la phrase de Tigweg :soit O celui qui contient x. Alors il existe un intervalle ouvert I contenant x et inclus dans O. Suffit il de recouvrir par des ouverts pour être ouvert ?

Si E est voisinage de chacun de ses point il sera ouvert mais est ce qu'on peut ici dire cela car E est recouvert par des ouverts, cela veut il dire que E est égal à une réunion d'ouverts auquel cas c'est un ouvert ou inclus dans une réunion d‘ouverts ce qui change tout car on peut très bien être inclus dans une réunion d'ouverts et être fermé , non ? (l'ouvert du recouvrement fini dans lequel se trouve x est un ouvert de F)

Oui tout-à-fait cunctator, mais tu oublies un critère simple pour savoir si un ensemble est ouvert ou pas:

il suffit de prouver que pour tout x de cet ensemble (disons E pour faire le lien avec notre énoncé), il existe un voisinage I de x entièrement contenu dans E.

Ici la démo que E est ouvert se schématise donc ainsi:

-je choisis x dans E, quelconque.
-j'écris ce que ça veut dire en me rappelant comment est défini E.
-je prouve qu'il existe un voisinage I de x tel que tout y de I soit dans E.
-cela prouve que I est entièrement inclus dans E, donc que E est ouvert.


Or E représente les citoyens x tels qu'un nombre fini de méchants ouverts suffise à gober tout le segment [a;x].


Tigweg

Merci de ces précisions
Si j'ai bien compris E est l'union des [a,x]

Non, E c'est l'ensemble des x tels qu'on puisse recouvrir tout [a;x] par un nombre fini d'ouverts du recouvrement initial.

A priori, avant de réfléchir, on pourrait imaginer E troué de partout...avec par exemple seul x=1,378 qui marche, qui sait!

Or on prouve que E est entièrement égal à F, autrement dit (en adoptant x=b) que [a;b] (c'est-à-dire F) se recouvre par un nombre fini d'ouverts du recouvrement initial.

On a donc bien réussi à extraire du recouvrement ouvert quelconque initial un sous-recouvrement fini, ce qui preouve que F est compact. D'accord?



Tigweg

Merci en tous cas pour ces éclaircissements mais je n'arrive pas bien à cerner E en particulier que vaut il si on recouvre [0;1] avec U]1/n;1] plus un ouvert contenant 0?
Et ne pourrait on pas faire le même raisonnement avec l'une des bornes [a;x] ouvertes.Je vais réfléchir à tout celà et encore merci.

En fait U]1/n;1] ne recouvre pas [0;1] mais seulement ]0;1], c'est peut-être la source de ta confusion?

En revanche, le fait que sup E appartient à E ne marche plus avec un intervalle de la forme [a;b[ (de même que la démo du fait qu'il est fermé)car c'est le fait que F était fermé qui permettait d'affirmer que la limite c de la suite c_n était encore élément de F, et donc appartenait à l'un des ouverts du recouvrement.

En revanche, on démontrerait de même que E est ouvert dans le cas où F est un intervalle semi-ouvert.

Sinon bonne réflexion et n'hésite pas à reposter sur le sujet plus tard si d'autres questions te viennent!


Tigweg