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Théorème de Cauchy-Lipschitz
Bonjour,
Déterminer pour quelles équations les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz sont satisfaites pour toute valeur initiale :
1.
2.
3.
4.
Pour les équations dont la réponse est positive : déterminer, en fonction de a, si la solution maximale correspondante est globale, c'est-à-dire si l'intervalle maximal I de définition est tout entier.
Pour la 1) :
Déjà, est continue et localement lipschitzienne, donc satisfait les conditions du théorème de CL.
On sait que est positive sur
et négative sur
.
De plus x(t) = 0 est une solution constante (un équilibre).
Ainsi, soit x(t) > 0, soit x(t) < 0 car deux solutions ne peuvent se couper.
Si x(t) > 0, dans ce cas x(t) est croissante sur son intervalle de définition ]T-,T+[.
x(t) est croissante et minorée, donc T- = .
Si T- > -
, dans ce cas , c'est contradictoire.
Si x(t) < 0, alors x(t) est décroissante sur son intervalle de définition.
x(t) est décroissante majorée, donc encore une fois T- = -.
Cependant, comment regarder le caractère fini ou non de T+ dans les deux cas ? Doit-on obligatoirement passer par la résolution explicite ?
Pour la 2), je trouve que la fonction n'est pas localement lipschitzienne. Donc le théorème de Cauchy ne peut s'appliquer. C'est juste ?
Merci d'avance.
Bonjour Ennydra
Pour la première, si la limite de x(t) existe en + alors elle est nécessairement nulle.
Sauf que comme tes fonctions sont soit croissantes soit décroissantes, selon qu'on se trouve dans le 1/2 plan supérieur ou inférieur, il va y avoir un soucis ! Donc T+ est fini.
Toutes les ED ont la forme x ' = F(x,t)
Pour 1 :
.. Si tu veux y voir clair et te faire comprendre je te conseille , lorsque tu parles d'applications , de toujours préciser leur ensemble de départ .
L'expression " f(x,t) = x3 " ne définit pas une application .
D'ailleurs on pourrait chercher les fonctions définies dans un intervalle , arrivant dans M2(
) qui sont dérivables et telles que x ' = x3 .
..L'application F : ² 
, (x,t) 
x3 est C1 sur ( ² ; ça suffit pour dire que CL s'applique .
..( , t 0) est une solution maximale .
..Soit (J,x) une autre solution maximale . Aucune raison pour que J soit symétrique (même si 0 
J )
(J,x) n'est pas globale : En effet pour tout t de J on a : x(t) 
0.
A ce sujet : deux solutions ne peuvent se couper n'a pas de sens( à moins que tu parles de leur représentation graphique , mais c'est du dessin ) .
Comme (1/x²)' = -2x'/x3 = -2 il existe c tel que pour tout t de J on ait 1/(x(t))² = 2(c - t ) donc |c - t| > 0 et J .
Oui, par les solutions ne peuvent se croiser, j'entends graphiquement.
Mais on ne peut pas étudier les cas pour x(t) > 0 et x(t) < 0 séparément ?
Mais merci ! 
Pour la 2), comment montres-tu que l'application ( ², f : (x,t) (|x² - 1|)1/2 ) n'est pas localement lipschitzienne ?
La restriction de f à U = {(x,t) ² | x² 1 } est loc- lip .
Si tu veux montrer que f n'est pas lip-loc sur ² il te faut donc trouver un 
tel que dans tout voisinage de (1,) f ne soit pas lip .
Si je savais au moins ce que Mais on ne peut pas étudier les cas pour x(t) > 0 et x(t) < 0 séparément ? veut dire .
Pour en finir avec l'exo 2 :
1.Pour montrer que f n'est pas lip loc il suffit de montrer que
t u : , x |x² - 1|1/2 ne n'est lip dans aucune des voisinages de 1 .
Supposons le contraire càd qu'il existe r > 0 et m > 0 tels que |u(x) - u(y)| 
m|x - y| pour tout (x,y) dans ] - r , r[ .
Pour tout s ]0 , r[ on aurait donc |u(1+s) - u(1- t)| /2s m et donc aussi
Comme quand t
0 , c'est impossible .
2.
Il y a des solutions u , v de l'ED x ' = |x² - 1|1/2 qui sont globales , distinctes mais telles que [u = v]soit non 
(ce qui n'arriverait pas si f était lip loc ) .
Soit u : définie par
u(t) = -1 si t -
/2
= sin(t) si -/2 < t < /2
= +1 si t 
1
uest dérivable et u' = |u² - 1|1/2 . Tout comme v : t 1 et w : t -1 .
On peut fabriquer d'autres tels couples (u,v) en utilisant sh .
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