Salut!

- Quel sont les différences d'hypothèses entre le Théorème de Cauchy-Lipschitz local et global? Si l'on cherche une solution à avec où où est un intervalle ouvert de contenant et un ouvert de contenant , les deux manières d'énoncer le théorème sont-elles bien:
   - locale: si f est continue et localement lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable, alors il existe une unique solution maximale définie sur un intervalle ouvert de
   -globale: si f est continue, localement lipschitzienne par rapport à sa première variable et lipschitzienne par rapport à la seconde, alors il existe une unique solution maximale qui est globale
?

-Maintenant, pour en venir à l'exercice qui m'amène ici

On s'intéresse au problème de Cauchy et dans , où . Je cherche à prouver l'existence d'une unique solution globale. Pour cela 2 idées me sont venues:

1) poser telle que et utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz global, mais il me reste à prouver que sous réserve d'existence, est à valeur dans [0,1] (ce que je soupçonne puisque l'exercice désigne x comme une proportion d'une population), ce que je n'arrive pas à prouver

2)poser telle que et utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz local puis prouver que la solution obtenue est globale, ce que je n'arrive pas à faire.

Auriez-vous des indices, si possible pour mes 2 idées?