Il me semble que ce genre de question se résoud facilement si on montre que la fonction en question est lipschitzienne,ce qui peut etre fait avec les bornes sup,voire meme une utilisation de l'inégalité triangulaire...

f et g sont continues sur un segment donc,en particulier,bornées.
Posons=sup{|f(t)|,t[a,b]}
et =sup{|g(t)|,t[a,b]}

Ensuite:
Soient t et t' deux reels
f(x)+tg(x)=f(x)+t'g(x)+(t-t')g(x)h(t') +|t-t'|
Puis,par passage au sup, h(t)h(t')+|t-t'|
En inversant h(t) et h(t') on obtient l'inégalité finale
|h(t)-h(t')||t-t'|

ok merci