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Théorème de convergence pour les intégrales

Posté par
fusionfroide 25-02-07 à 23:41

Salut

Voici l'exo :

Calculer \fbox{4$\rm I=\int_0^1 x^nlog(x)dx} pour tout entier 4$\rm n \ge 1 et en déduire l'égalité : \fbox{4$\rm\int_0^1\frac{log(x)}{x-1}dx=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}}

Ma première question est la suivante : s'agit-il bien ici du logarithme décimal ??

Merci

Posté par
Cauchyre : Théorème de convergence pour les intégrales 25-02-07 à 23:43

Salut,

je pense que c'est le logarithme népérien

Posté par
fusionfroidere : Théorème de convergence pour les intégrales 25-02-07 à 23:43

ok merci : ça paraissait bizarre aussi

Posté par
fusionfroidere : Théorème de convergence pour les intégrales 25-02-07 à 23:48

Faut-il bien ici utiliser le théorème d'intégration d'une série de fonctions ?

Posté par
fusionfroidere : Théorème de convergence pour les intégrales 25-02-07 à 23:50

Oui fusionfroie cela permettra de justifier l'interversion somme/intégrale

Posté par
fusionfroidere : Théorème de convergence pour les intégrales 25-02-07 à 23:50

ok merci

Posté par
Cauchyre : Théorème de convergence pour les intégrales 25-02-07 à 23:55

??

Posté par
fusionfroidere : Théorème de convergence pour les intégrales 25-02-07 à 23:58

J'en ai marre de poster des questions puis de cliquer sur poster, et de trouver la réponse 2 secondes plus tard

Posté par
fusionfroidere : Théorème de convergence pour les intégrales 25-02-07 à 23:59

Au fait ça marche très bien avec le log népérien.

je me demande pourquoi ils ont écrit log(x) !

Posté par
Cauchyre : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 00:03

Bien c'est une autre notation le log en base 10 se note log_10.

Posté par
fusionfroidere : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 00:05

ok merci

Posté par
Cauchyre : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 00:11

De rien  

Posté par
jeansebre : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 13:04

Bonjour Cauchy et fusion froide

FF, pourrais tu me dire précisément quels arguments tu utilises pour intervertir somme et intégrale?

D'après moi, si  fn = xnlnx, fn  ne converge pas normalement car sup|fn| est en 1/en donc il n'y a pas convergence normale. Comment prouves tu la convergence uniforme?

Merci!

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 13:10

Bonjour à tous

jeanseb > Je crois que FF ne faisait pas allusion à la convergence uniforme mais bien à un théorème plus général qui permet cette interversion.
Hormais les hypothèses de "régularité" à savoir continue par morceaux et l'intégrabilité, celle dont on a réellement besoin est que la série \Large{\bigsum_{n=0}^{+\infty}\bigint |f_{n}|} est converge et là on peut intervertir les deux symboles.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 13:14

Salut tout le monde.

Kaiser a répondu à ta question jeanseb

Juste par pure curioisité, en résolvant un exo, je me demandais s'il était possible de passer à 4$\int f(x)dx à 4$\int f^2(x)dx par un théorème peut-être.

Enfin cela m'étonnerait !

Posté par
fusionfroidere : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 13:15

Jeanseb, si tu veux je te donne le théorème complet

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 13:28

fusionfroide > quel est l'exo ? faut-il montrer une égalité ou une inégalité ?
Si c'est une inégalité, je penserais à Cauchy-Schwarz.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 13:35

Voici l'exo que j'ai terminé !

1) Calculer 4$\int_0^1x^nln(x)dx

2) En déduire 4$\int_0^1\frac{ln(x)}{x-1}dx=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}

3) Montrer que 4$\int_0^1 \frac{(xln(x))^2}{1+x^2}dx=2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n+1)^3}

En fait on remarque que : 4$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}x^{2n}=\frac{x^2}{1+x^2}

Donc fatalement, à un moment je dois calculer 4$\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^1 ln^2(x)x^{2n}dx

D'où ma question et le rapport s'il existe avec le petit 1

Car ici j'ai calculé ceci par 2 IPP successives ce qui marche très bien !

Posté par
jeansebre : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 13:36

Merci !

Oui FF , j'aimerais le théorème complet...

Posté par
fusionfroidere : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 13:50

Ok

Théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions

Soit 4$(f_n) une suite de fonctions à valeurs réelles ou complexes.
Si :

1)4$f_n \in \mathbb{L_{PM}^1}(I,\mathbb{R})

2) La série 4$\sum f_n converge simplement sur 4$I vers une fonction 4$f

3) 4$f \in C_{PM}^0(I,\mathbb{R})

4) La série 4$\sum \int_I |f_n| converge,

Alors 4$f est intégrable sur 4$I et 4$\int_I f =\int_I \sum_{n=0}^{\infty}f_n=\sum_{n=0}^{\infty}\int_I f_n

Posté par
jeansebre : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 16:16

Merci FF

En fait, je le connais (formellement) ce théorème, mais je n'avais pas exactement compris son champ d'application, c'est a dire qu'on l'utilise quand il n'y a pas convergence uniforme .

Maintenant, j'ai capté (je pense!).

Merci et a plus.

Posté par
fusionfroidere : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 16:24

Re,

Une dernière question

Je veux montrer que la série de terme général 4$f_n(x)=exp{-nx}-2exp{-2nx}

Déjà le terme général tend vers 0 en l'infini...
Ensuite, il suffit d'étudier les cariations de f_n pour en déduire un maximum.

Je trouve 4$f_n^'(x)=-n exp{-nx}+4n exp{-2nx}

Donc je trouve que 4$f_n(x) \ge 0 pour 4$x \ge \frac{-1}{n}ln(\frac{1}{4})

Trouvez-vous pareil car après ça plante...

Posté par
fusionfroidere : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 16:27

Lire 4$f_n^'(x) \ge 0

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 16:28

tu veux que ça converge tout court ou alors que ça converge uniformément ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 16:29

Je veux que ça converge simplement (tout court donc)

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 16:32

Dans ce cas, pas la peine de faire ça : on a affaire à deux séries géométriques.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 18:32

Arf je m'en veux !

Et si je veux appliquer ma méthode (juste pour m'entraîner ) est-ce que l'inégalité portant sur x que j'ai donné est bonne ? Je sui s persuadé d'avoir fait une erreur de signe :S

Merci

Posté par
fusionfroidere : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 18:43

EN fait je devrais avoir inférieur ou égal non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 18:58

Pour ma part, je trouve le contraire : la même inégalité mais dans l'autre sens (tu as peut-être divisé par un truc négatif, non ?)

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 19:03

Le problème c'est que je ne vois pas mon erreur :

4$f_n^'(x)=exp{-nx}(4n exp{-nx}-n)

Donc 4$f_n^'(x) \ge 0 pour 4$4n exp{-nx}-n\ge 0

Donc pour 4$4n exp{-nx}\ge n

Donc pour 4$exp{-nx} \ge \frac{1}{4}

Donc pour 4$-nx \le ln(\frac{1}{4})

Donc pour 4$x \ge -\frac{1}{4}ln(\frac{1}{4})

Voilà si tu pouvais m'indiquer là où ça coince !

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 19:04

Au 3ème "donc pour", pourquoi change-tu le sens de l'inégalité ? le log est croissant.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 19:06

Pff sans commentaire

Merci kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème de convergence pour les intégrales 26-02-07 à 19:08


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