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théorème de cv dominée
Bonjour à tous,
Je voulais savoir si je pouvais énoncer le théorème de cv dominée comme cela:
Soit fn une suite de fonctions
1) pour tout n à partir d'un certain rang fn est intégrable sur I
2) fn converge simplement vers f
3) f est localement intégrable sur I
4) pour tout t, et à partir d'un certain rang, |fn(t)|<= g(t) intégrable sur I indépendante de n
=> f intégrable sur I et lim 
fn=f
Est-ce que j'ai souligné est une hypothèse suffisante?
Bonsoir,
Pour 1): si tu dis, "à partir d'un certain rang", ça reste correct,
mais alors certains fn peuvent ne pas etre integrables. En general, on
enleve cette hypothese, et on dit : 
n
Pour 3): il faut que f soit integrable sur I. Si on rajoute localement,
je ne vois pas trop ce que ça donne. Tout au moins, il faut que l'integrale de f existe !
Replonge toi quand-meme dans la démo du theoreme pour voir si on peut
elargir certaines hypotheses...
Salut,
que ce soit à partir d'un certain rang, on s'en fiche, vu que ce qui compte est pour n au voisinage de l'infini, ce qui se passe pour n petit n'a aucune importance.
Le f localement intégrable ne sert à rien, tu peux l'enlever, et tu peux également alléger la convergence simple et ne demander que la convergence presque partout.
Le fait que est une conséquence du théorème (c'est une conclusion à part entière) donc c'est inutile de la mettre dans l'hytpothèse. C'est une des forces du théorème.
a+
Pour 3): il faut que f soit integrable sur I. Si on rajoute localement,
je ne vois pas trop ce que ça donne. Tout au moins, il faut que l'integrale de f existe !
Non justement !
C'est bel et bien une conclusion du théorème. Sinon le théorème n'a presque plus d'intérets.
a+
Replonge toi quand-meme dans la démo du theoreme pour voir si on peut
elargir certaines hypotheses...
Démo hors programme...
Le f localement intégrable ne sert à rien, tu peux l'enlever, et tu peux également alléger la convergence simple et ne demander que la convergence presque partout.
C'est une hypothèse que nous a donnée mon prof... Je pense que si l'on se passe de cette hyporthèse, il faut rajouter que f est continue (par morceaux). C'est du moins comme cela que je l'ai trouvé dans un bouquin.
Ca m'amène à vous demander quelle est la définition exacte d'une fonction continue par morceaux. Est-ce qu'il y a une condition nous disant qu'elle est continue sur des intervalles fermés...?
Pardon pour mon post! Comme l'a souligné Otto, j'ai dit une grosse betise:
f integrable sur I fait partie des deux consequences du theoreme !
Voila comment on l'énonce classiquement (en Math Spé):
Soit I un intervalle quelconque de R.
Soit (fn) une suite de fonction continues par morceaux sur I, intégrables, et
convergeant simplement vers une fonction f continue par morceaux.
S'il existe une fonction g continue par morceaux et intégrable telle que:
n |fn|
g alors :
i) f est intégrable sur I
ii)
Remarquons cependant que " i) f est intégrable " est évident puisque |f| g !!!
Ce qui l'est moins est de démontrer ii)
La condition "continue par morceaux" entraine "localement integrable".
A mon avis, ton énoncé demande cette hypothèse plus large, car partant de (|f| g,
on a besoin que f soit localement intégrable pour dire que .
En effet l'intégrale généralisée se calcule par passage a la limite !
C'est l'hypothèse la plus naturelle...
Reprends la preuve et vois de quoi on a besoin à chaque étape !
A+
Reprends la preuve et vois de quoi on a besoin à chaque étape !
Comme je l'avais indiqué plus haut, la preuve n'est apparemment pas de notre niveau. C'est hors programme. 
Pour l'instant je me contente donc d'essayer d'utiliser le théorème le plus précis possible.
Pourriez-vous me donner la définition exacte de ce qu'est une fonction continue par morceaux?
>> vendredi :
Dans mon énoncé vu cette année, il y a une hypothèse en moins :
Soit (fn) une suite de fonction continues par morceaux sur I, intégrables, et
convergeant simplement vers une fonction f continue par morceaux.
Chez moi : chaque fn intégrable est aussi une conséquence du théorème.
Mais bon, ça ne peut pas faire de mal de prouver que chaque fn intégrable au préalable
Par contre, dans la version série chaque fn intégrable est bien une des conditions à remplir ...
A+
Romain
>> letonio :
Il suffit de chercher sur internet ...
... de plus, je te conseil de maitriser d'abord les bases (fonctions cpm, continue ...) avant de t'attaquer à des théorèmes comme ça.
C'est sur que si tu ne sais pas ce qu'est une fonction cpm, tu ne vas pas pouvoir appliquer le théorème ...
Regarde ici :
Romain
Holà, pas besoin d'être condescendant.
On n'a pas vu le théorème en utilisant les hypothèses de continuité par morceaux... Donc je n'ai pas vraiment de raisons d'avoir les idées claires à ce sujet. D'où ma question.
Pour ce qui est des recherches internet ou autre, pas toujours simple de trouver des liens clairs...
Lyonnais:
Il faut que les f_n soient intégrables (toutes, ou toutes à partir d'un certain rang). Sinon le théorème n'a pas vraiment de sens.
Letonio:
Une fonction est continue par morceaux sur R, s'il existe une partition dénombrable de R par des intervalles I_n, tels que f soit continue sur l'intérieur de chaque I_n.
Le théorème est un peu plus fort encore que ce que tu dis vendredi. Non seulement on peut permuter les opérateurs limites et intégrales, mais surtout la convergence des f_n se fait L1 et plus seulement presque partout ! (rappelons que la cv pp n'implique pas la convergence L1 et réciproquement)
C'est d'ailleurs pour cela que ca n'a pas de sens de considérer les fonctions f_n non intégrables, en plus du fait que :
1-On prend leur intégrale
2-L'hypothèse de domination force les f_n à être intégrables.
Pour la démonstration du théorème, tout bon cours d'intégration te le fera. Notamment le livre de Bartle ou celui de Rudin sont des références.
Les démonstrations que je connais utilisent nécessairement le lemme de Fatou-Lebesgue qui lui même utilise le théorème de la convergence monotone. (parfois appelé Beppo-Levi je crois)
a+
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