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Théorème de D'Alembert-Gauss
Bonsoir tout le monde 
Les connaisseurs d'analyse complexe connaissent tous la preuve du théorème fondamental de l'algèbre rapide utilisant le théorème de Liouville. J'ai entendu parlé d'une preuve utilisant le théorème de l'application ouverte.
Il est clair qu'un polynôme est analytique donc est un ouvert. Comment on déduire qu'il contient 0?
Ok c'est bon :
P est une application analytique, ouverte et propre. On en déduit qu'elle est surjective.
En effet, P est analytique et ouverte ce qui nous assure que est un ouvert. De plus il est connexe. Il suffit de montrer qu'il est aussi fermé.
On prend y un point d'accumulation et (un) telle que .
f est propre (l'image réciproque de tout compact est un compact) donc (un) est une suite d'éléments d'un compact. On peut donc d'après Bolzano-Weirstrass en extraire une suite convergente vers un point x du compact et par continuité on a f(x)=y
Bonjour
Si tu t'intéresses aux preuves de d'Alembert, en voici une pas très connue qui utilise l'homotopie.
Soit P un polynôme unitaire de degré n supérieur à 1 supposé sans racine. On montre que les lacets ,
et
sont homotopes dans C* et on remarque une contradiction.
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