Bonsoir,

J'aimerais poser une question sur une preuve connue du théorème de D'Alembert-Gauss, elle consiste à montrer que si on dispose d'une fonction continue et
-périodique qui ne s'annule pas alors .
On prend alors un polynôme non constant de degré . Supposons que ne s'annule pas.
Posons :
Par théorème de continuité sous le signe intégral on montre que est continue sur tout segment et donc que est continue sur mais elle est à valeurs dans donc elle est constante et puisque alors elle est nulle partout.
Pour trouver la contradiction on passe à la limite.
On a : est continue sur .  
Et lorsque et on en déduit que est bornée sur . Je ne comprends pas cette conclusion. Je sais le faire sur , puisque déjà on n'a que des réels et qu'on peut diviser la droite en trois parties, un segment où la fonction est bornée car continue ( sur un segment ) et les deux autres parties la fonction y est bornée car elle admet une limite finie. Mais pour , déjà ce n'est que la limite lorsque la variable réelle, on n'en sait rien lorsque la variable est complexe. On ne peut même pas majorer par une expression qui tend vers 0 par exemple ou déterminer les limites des parties réelles et imaginaires de notre fonction...
L'autre point que je ne comprends pas c'est que pour trouver la limite de , on fait le théorème de convergence dominée et on dit que , mais je ne comprends pas pourquoi. Si c'était seulement je me serai dit que , mais ici on a un qui "tourne en s'éloignant"...

J'espère que vous pourrez m'aider afin de comprendre ces deux points clés de la démonstration.

Merci d'avance,