Niveau Maths sup

théorème de DINI

Posté par
elhoussine12 24-10-22 à 16:25

_{* Modération >} *** Bonjour *** _*

théorème:
Soit $f_n$ une suite de fonctions croissantes et continues sur $\left[a,b \right]$ telle que: $f_n$ converge simplement vers certain fonction $f$
continues sur $\left[a,b \right]$ ,Alors la convergence est en fait uniforme.
Ma question porte sur la démonstration, et je voit que la condition "croissantes " est dispensable ;
En effet:
Soit $\epsilon >0$
Soit $\sigma_N=(x_i)_{i=0,...,N-1}$ ,un subdivision de $\left[a,b \right]$ telle que :
$\forall x \in \left[a,b \right]:\left|x-x_i \right|<\delta$ ,où $\delta$ ( exite d'aprés Heine) et tels que :
$\left|x-y \right|<\delta \Rightarrow \left|f_n(x)-f_n(y) \right|<\epsilon,\forall n \geq N$
$\left|x-y \right|<\delta \Rightarrow \left|f(x)-f(y) \right|<\epsilon$ .
Soit $x\in \left[a,b \right]$ :
$\left|f_n(x)-f(x) \right|\leq \left|f_n(x)-f_n(x_i) \right|+\left|f(x_i)-f(x) \right|+\left|f_n(x_i)-f(x_i) \right|$ ;
La majoration de deux premiers termes à droite est obtenue par la continuité uniforme et définition de $\sigma_N$ .
Pour le troisième terme :la convergence simple et un bon choix de $N'$ .
Maintenant pour certain $N>max(N,N')$ ona :
$\forall n\geq N,\forall x\in \left[a,b \right]:\left|f_n(x)-f(x) \right|<3\epsilon$ .
Si vous pouvez confirmer ou montrer où je me trompe et Merci
cordialement.

Posté par re : théorème de DINI 24-10-22 à 18:28

salut

à mon avis tu fais une confusion : ce n'est pas une suite de fonctions croissantes mais une suite croissante de fonctions ...

ce qui permet d'affirmer les $\forall n \ge N$ que tu écris ...

Posté par re : théorème de DINI 25-10-22 à 10:02

Bonjour carpediem !
Il y a DEUX théorèmes de Dini : un avec une suite monotone de fonctions l'autre avec une suite de fonctions monotones.

@elhoussine12 : le $\delta$ que tu introduis dépend de $n$ . Il faut faire attention.

Tu commences par montrer que la limite simple est aussi croissante.
En utilisant le théorème de Heine pour la fonction $f$ tu dispose d'une subdivision telle que $f(a_{i-1}\leqslant f(t)\leqslantf(a_i)\leqslant f(a_{i-1})+\varepsilon$ sur chaque intervalle de subdivision.

En utilisant la limite des suites (en nombre fini) $n\mapsto f_n(a_i)$ tu obtiendras le résultat (encadrement à partir d'un certain rang de rayon $2\varepsilon$ ).

Posté par re : théorème de DINI 25-10-22 à 10:05

Désolé !
Il faut lire
... $f(a_{i-1})\leqslant f(t)\leqslant f(a_i)\leqslant f(a_{i-1})+\varepsilon$ sur chaque intervalle de subdivision.

Posté par re : théorème de DINI 25-10-22 à 10:39

luzak : oui mais lorsque on parle de la suite de fonctions croissantes il n'y a pas (besoin de) l'hypothèse de continuité (uniquement pour la limite simple)

Posté par re : théorème de DINI 25-10-22 à 17:53

C'est vrai mais ... qui peut le plus...

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