Bonjour,

Ton énoncé n'est pas assez précis. Je suppose que ta fonction est périodique, ce que tu ne dis pas. Et quelle est la période , PI ou 2 PI ?  

en fait j'ai une fonction 2-périodique et impaire, définie sur et telle que
sur ]0;[, f(x)=1
f(0)=f()=0

Ta fonction vaut donc -1 sur ]-PI, 0[ puisqu'elle est impaire.
Dirichlet te permet de dire que la somme de la série de Fourier vaut -1 sur ]-PI, 0[, +1 sur ]0,PI[, et (1/2)(f(0-) + f(0+)) en 0.
Or f(0-) = -1, f(0+) = +1, donc (1/2)(f(0-) + f(0+)) = 0
Et c'est présisément la valeur affectée à f en 0, donc la série de Fourier converge vers f partout.
Mais si la valeur attribuée à f en 0 avait été diférente, la somme de la série de Fourier en 0 aurait tout de même été 0...

d'accord, donc en fait du moment que la fonction est définie en un point, que ce soit par la définition de la fonction, ou par un prolongement par continuité, on peut conclure avec le théorème de Dirichlet que la fonction converge sur son ensemble de définition?
et le cas où on aurait pas attribué la valeur 0 à f en 0, je ne vois pas pourquoi la somme de la série de Fourier en 0 serait toujours nulle.

Salut !

le théorème de dirichlet dit que si f est une fonction C1 par morcaux. alors en tous point la série de fourier de f converge vers la fonction g définit par :

f(x)=g(x) si f est continu en x.
g(x)=(lim f(a) (quand a->x, a<x) + lim f(a) (quand a->x, a>x))/2

donc si ta fonction est continu, alors il dit que la série de fourier converge partous simplement vers f, (mais dans ce cas il y aussi le th de convergence normale qui s'applique...) et que au point de discontinuité la série tend vers la valeur moyenne. (tu vois bien d'ailleur que si on change la valeur en 0 de f, ca ne change pas ca série de fourier...)

Le théorème ne prend pas en compte des valeurs ponctuelles, mais ce qui se passe au voisinage d'un point.
Prends par exemple une fonction qui vaut 1 sur tout R, la somme de la série sera évidemment 1. Maintenant, change la valeur de  la fonction uniquement aux point kPI en f(kPI) = 100, k appartient à Z. Ca ne changera pas la valeur de la série en ces points.
Et lorsque la fonction présente des "marches", ce qui importe pour la série c'est la limite à gauche de la marche et la limite à droite de la marche, la série fait la moyenne de ces deux limites. Peu importe la valeur que tu peux attribuer à la fonction au point précis de la marche.
Tu trouveras plus d'info ici :

merci beaucoup pour les explications LeHibou et Ksilver. c'est plus clair maintenant
bonne soirée