Bonjour à toutes et à tous,

Je suis étudiante en 2e licence mathématique et pour mon mémoire, j'ai du créer un exercice pour les étudiants de deuxième candidature. Le voici:

Supposons qu'une plaque de métal est de forme carrée et qu'elle est placée dans le plan x-y de sorte que ses sommets occupent les points et(0,0),(0,1),(1,1)et (1,0).
On enfonce les quatre bords dans la glace à 0°C.
La température initiale T  en A=(x,y) est donnée par T=20 sin(x) sin (y).

(a)Déterminez le point en lequel la température initiale est la plus élevée.

On peut  montrer que la fonction U(x,y,z) qui renseigne la température en (x,y) au temps T satisfait l'équation de la chaleur à deux dimensions :
(U/t)-k ((^{[/sup]2U/x[sup]}2)+^{[/sup]2U/y[sup]}2))=0

(je ne sais pas ce va va donner la formule alors j'essaie de l'expliquer: (dérivée partielle de U par rapport à t) moins k multiplié par(dérivée seconde de U par rapport à x moins dérivée seconde de U par rapport à y ) égale 0 )

où k est une constante qui dépend de la conductivité thermique et de la chaleur spécifique de la plaque.

(b) Montrez que U(x,y,t) = 20 expo(-2kt[sup][/sup]2)satisfait cette équation de la chaleur.
(c) Comment évolue la température au fil du temps ?


Le professeur qui dirige mon mémoire m'a fait remarquer qu'il est important que les bords de la plaques soient dans une température de 0°C pour que la réponse à la question (c) soit exacte . (En effet la température tend vers 0°C)

Il m'a alors parlé d'un problème plus générale et de condition initiale ainsi que de conditions de dirichlet.
Je n'ai pas trop compris ce qu'il voulait dire.
J'ai cherché vainement sur internet des conditions de dirichlet qui me satisfassent mais je n'ai rien trouvé.
Je voudrai donc savoir si vous connaissez l'équation plus générale de laquelle on tire l'équation que je donne en (j)ainsi que les conditions initiales.
Je ne sais pas si j 'ai été très claire mais je remercie d'avance toute personne pouvant m'aider.

cathlu4