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Théorème de Householder

Posté par
fusionfroide 18-11-07 à 16:26

Salut

Soit w un vecteur réel normalisé, i.e ||w||_2=1
La transformation P=I-2ww^T est orthogonale.

Si ||w||_2=1, n'a t-on pas ww^T=1 ?

Car (w|w)=||w||_2^2=1

Donc je me demande à quoi cela sert de préciser ww^T ??

Merci

Posté par
romure : Théorème de Householder 18-11-07 à 16:28

Bonjour, \omega\omega^T est une matrice, non?

donc n'est pas égale à 1 qui est un scalaire.

Posté par
fusionfroidere : Théorème de Householder 18-11-07 à 17:00

Salut romu ^^

Oui mais on a : (w|w)=ww^T=w^Tw non ?

Posté par
fusionfroidere : Théorème de Householder 18-11-07 à 17:03

Citation :
\omega\omega^T est une matrice


euh non c'est un scalaire

Posté par
romure : Théorème de Householder 18-11-07 à 17:08

Non justement, tu ne peux pas commuter \omega et \omega^T.

Prends \omega=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.

Calcule \omega\omega^T, tu vas avoir une matrice 3x3.

Calcule ensuite \omega^T\omega, tu as ton scalaire 1, du produit scalaire.

Posté par
romure : Théorème de Householder 18-11-07 à 17:10

non c'est pas un scalaire, sinon ta transformation P=I-2\omega\omega^T n'a plus vraiment de sens.

Ca voudrait dire à ce moment là qu'à une matrice tu soustrais un scalaire, ce qui est absurde.

Posté par
fusionfroidere : Théorème de Householder 18-11-07 à 17:10

Ah ok merci bien ^^

Posté par
romure : Théorème de Householder 18-11-07 à 17:18

Enfin je te souhaite bonne chance, ces décompositions de matrice, c'est dur à digérer

Posté par
fusionfroidere : Théorème de Householder 18-11-07 à 17:20

Une dernière question romu

On veut montrer que P est orthogonale, donc que P^TP=I

Remarquons que P est symétrique.

On a donc :

4$(I-2ww^T)^T(I-2ww^T)=(I-2ww^T)(I-2ww^T)

4$=I-2ww^T-2ww^T+4(ww^T)(ww^T)
4$=I-4ww^T+4
4$=I-4ww^T+4ww^T

Je ne comprends le passage de l'avant dernière ligne à la dernière ligne :S

Pourtant ww^T est une matrice !

Posté par
romure : Théorème de Householder 18-11-07 à 17:28

la feinte vient de l'associativité du produit:

3$(\omega\omega^T)(\omega\omega^T) = \omega(\omega^T\omega)\omega^T = \omega(1\times\omega^T)=\omega\omega^T

car comme tu l'as dit tout à l'heure \omega^T\omega=1.

Posté par
fusionfroidere : Théorème de Householder 18-11-07 à 17:29

Oui ça c'est ok ^^

Citation :
Je ne comprends le passage de l'avant dernière ligne à la dernière ligne :S


Merci ^^

Posté par
romure : Théorème de Householder 18-11-07 à 17:35

mais ton avant derniere ligne écrite telle quelle est fausse.

Il devrait y avoir à la place:

4$=I-4\omega\omega^T + 4(\omega\omega^T)(\omega\omega^T)

Posté par
fusionfroidere : Théorème de Householder 18-11-07 à 17:53

ok merci ^^

Y'a une erreur dans la démo :=)


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