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théorème de l'application ouverte

Posté par
romu 28-06-08 à 13:57

Bonjour,

j'ai du mal à comprendre un point de la démo sur wiki ( ).


On considère deux espaces de Banach E et Fet une application linéaire f continue et surjective.

On définit la suite de fermés de F: 3$F_n=\overline{f\(B_E(0,n)\)} d'union F par surjectivité de f.

En appliquant ensuite le lemme de Baire on en déduit qu'il existe un entier N tel que F_N est d'intérieur vide, donc il contient une boule ouverte B_F(y,\eta).

Là je ne vois pas comment en déduire que le fermé F_{2N} contient la boule ouverte B_F(0,\eta), il doit y avoir une histoire de translation derrière tout ça mais je sèche

Merci pour votre aide.

Posté par
romure : théorème de l'application ouverte 28-06-08 à 14:12

Bon je crois que j'ai compris finalement,

Soit z\in B_F(0,\eta). On a z+y\in B_F(y,\eta), d'où z+y\in F_N = \overline{f\(B_E(0,N)\),

autrement dit il existe une suite (x_k)_k de points de B_E(0,N) de limite z+y.

D'autre part il existe une suite (x'_k)_k de points de B_E(0,N) de limite y.

En posant pour tout k, x''_k := x_k-x'_k\in B_E(0,2N), on a par linéarité de f:

3$f(x''_k)=f(x_k)-f(x'_k)\longrightarrow_{k\rightarrow \infty} z,

et donc z\in F_{2N}.


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