Bonsoir Redman

Juste une précision : quand tu parles des inversibles et de n, tu parles sûrement de /n ?

oui

C'est tout simplement parce /n n'est pas un groupe si n'est n n'est premier (du point de vue de la loi multiplicative). On applique le théorème dans Lagrange seulement pour les groupes. On prend donc l'ensembles des éléments inversibles de /n qui forment bien un groupe.

mais le théorème de lagrange dit que k (4) divise n (10) ce qui est faux..?

/n n'est pas un groupe ! parce 10 n'est pas premier.

donc ca devient 4 l'ordre?

L'ordre de qui ?

de G

C'est ça, on considère le groupe G des inversibles de /n qui est d'ordre 4.
Tu t'apercevras bien ensuite que si tu prends un élément de G, son ordre sera égal à 1, 2 ou 4 (des entiers qui divisent bien 4).

Fait attention ! Dans ton théorème, H={1,g,g^2,...} est un groupe cyclique, engendré par le seule élément g. H est par définition un groupe, et un sous-groupe de G, donc son ordre qui se trouve être k divise n. Dans ton exemple, quel est l'élément g qui engendrerai {1;3;7;9} ?

eh bien, c'est 3, non ?

Bonjour à tous !!

Le théorème de Lagrange, pour moi ce n'est pas ca !!

En version simplifiée, il dit que si G est un groupe fini de cardinal fini n, le cardinal de tout sous-groupe de G divise n. En particulier l'ordre d'un élément x divise n (car x engendre un sous-groupe de cardinal l'ordre de x)

Dans ton exemple, les inversibles de Z/nZ ne sont pas un sous-groupe de Z/nZ même si n est premier. En effet, Z/nZ est un groupe additif (même si n est premier, en effet il est dur de trouver un inverse à 0). Et les inversibles de Z/nZ n'est clairement pas un groupe additif.

La structure de ces deux groupes est tout à fait différente.

Par contre, en effet, les inversibles de Z/nZ est un groupe multiplicatif.

Pour que H soit un sous-groupe de G, il faut que H soit inclus dans G et que H soit un groupe pour la même loi que G

Le théorème de Lagrange dit en version plus générale que le cardinal de G est égal au cardinal de H multiplié par l'indice de H dans G. Ce qui est vrai même si H n'est pas distingué dans G (car on montre que le nombre de classes à gauche est le même que le nombre de classes à droite).

à plus!

Ta définition du théorème de Lagrange marche donc uniquement pour les groupes dans lequels la loi est multiplicative.

Si la loi est additive (comme dans Z/nZ), le théorème s'énonce ainsi :

le théorème de lagrange dit que
Si G est un groupe fini/ card G = n,
Pour tout g de G, {1,g,2g,...} est fini.
Soit k le plus petit entier tel que k.g = 1
alors k divise n.

Si p est premier, Z/pZ possède une structure de corps fini. c'est donc un groupe additif (normal...) et Z/pZ* est bien un groupe multiplicatif...

bonsoir

ben oui, ce que tu dis est vrai : Z/pZ est un groupe, Z/pZ* est également un groupe, mais il n'empeche que Z/pZ* n'est tout de même pas un sous-groupe de Z/pZ (car Z/pZ* n'est pas stable par +).

On le voit d'ailleurs tout de suite grâce au théorème de Lagrange : |Z/pZ|=p et |Z/pZ*|=p-1

p-1 ne divise pas p.

En fait, Z/nZ est un anneau, mais dans notre probleme on le considère seulement comme un groupe !! Parler des inversibles n'a donc pas de sens (car on ne regarde pas la loi interne *)

Si on veut éviter la confusion, on peut travailler avec le groupe multiplicatif {} qui est isomorphe au groupe (Z/nZ,+} mais pas à l'anneau (Z/nZ,+,*)

Dans ton exemple on voit alors clairement que {} n'est pas un sous-groupe de {} (car ca n'est pas stable par *)

Sauf erreurs !!

A plus

oups petite rectification quand je dis :
{} qui est isomorphe au groupe (Z/nZ,+} mais pas à l'anneau (Z/nZ,+,*)

je veux dire qu'il n'y a pas de loi usuelle telle que {} est un anneau isomorphe à (Z/nZ,+,*). On peut bien sûr en définir une pour que ca puisse être isomorphe mais elle serait assez tordue et complètement artificielle.

a plus