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Théorème de Minkowski
Bonjour à la communauté ,
à vrai dire j'ai pas un niveau terrible en maths sur quand il s'agit de démonstration de théorème cependant j'aimerais bien comprendre une démonstration du théorème suivant
Tout convexe fermé de IRn ne contenant aucune droite est égal à l'enveloppe convexe de ses points extrémaux et de ses demi-droites extrémales.
Connaissez-vous une démonstration pas trop difficile en termes de compréhension ?
Merci d'avance
salut
si le convexe fermé F ne contient aucune droite et n'est pas borné dans une direction alors pour toute droite d ayant cette direction il existe trois points A, B et C de d tel que
j'ai compris ce que tu voulais dire A est 
F. B est sur le bord F .
Mais de ce que tu dis , que dois-je déduire？
oui mais celui-ci parle de convexe compact , moi je parle de convexe qui ne contiennent pas de droite .
Quelqu'un peut-il m'aider ?
soit deux points A et B du convexe et d la droite (AB) ...
le convexe ne contient aucune droite donc il contient soit un segment [XY] (fermé car le convexe l'est) de la droite (AB) soit une demi-droite (contenant A et B) [XY) et X appartient au convexe car il est fermé
...
ben X et Y sont des points extrémaux ou [XY) est une demi-droite ... extrémale quand elle est incluse dans la frontière du fermé ...
carpediem comment ce que tu dis implique que C le convexe fermé est l'enveloppe convexe de ses demi-droites extrémales et de ces points extrémaux ?
imagine un cone ...
point extrémal : sont sommet
demi-droites extrémales : toutes les demi-droites d'origine son sommet et sur le "bord" du cone ...
Pour la définition ,
si x,y appartiennent à C convexe alors tout point du segment x,y appartient à C .En gros le segment est inclus dans C , ça j'ai compris .
ça doit te paraître tellement évident mais moi j'ai vraiment du mal , je vois pas ou tu veux en venir
jackobenco
L'ensemble A := [0 , +
[ est un convexe fermé ne contenant aucune droite.
0 est le seul point extrémal de A .
Dans ton exo il faut donc rajouter 'hypothèse n > 1 .
carpediem mais l'enveloppe convexe du cône c'est bien le cône (pourquoi évoques-tu l'intérieur ?).
etniopal sais-tu comment les éléments évoqués précédemment peuvent m'aider ?
mais bon sang !! dessine un cone (la surface) ... quelle est alors son enveloppe convexe ?
ça doit être vraiment facile cependant je n'arrive pas à capter ce que tu essayes de me faire comprendre
je te parle de la surface latérale d'un cone !!! (qui est fermé mais pas convexe)
et son enveloppe convexe est le cone solide = surface + intérieur
je suis désolé je viens de comprendre mais dans le cadre du théorème comment cela peut-il m'aider merci de ton aide
si un convexe X contient les points A et B il contient le segment [AB]
si X ne contient aucune droite alors
soit A et B sont des points extrémaux <=> (AB) 
X = [AB] soit la droite (AB)contient deux points C et D tels que (AB) X = [CD] (et C et D sont des points extrémaux) soit la droite (AB) contient un point E tel que (AB) X = [PA) = [PB)
Cela implique donc que (AB)X est l'enveloppe convexe de ses points extrémaux et des ses demi-droites extrémales ?
De plus vu que l'on a que les demi-droites extrémales et les points extrémaux de (AB)X sont des points extrémaux et demi-droites extrémales dans X.
Mais à quel moment cela dit que X est l'enveloppe convexe de toutes ces demi-droites extrémales et points extrémaux ???
Voilà comment je m'y prendrais :
Soit A une partie non vide de E := 
n qui soit convexe , fermée et qui ne contienne aucune droite .
Comme E \ A est non vide on peut supposer 0 
A .
Soit C l'adhérence de { t.x │ t > 0 , x A } ( c'est le cône fermé de sommet O engendré par A )
Soit x A non extrémal .
Il existe donc u et v distincts dans A et t ]0 , 1[ tel que x = t.u + (1 - t).v .
Soit D(u,v) la droite " passant par u et v " càd { t.u + (1 - t).v │ t } .
J(u,v) := D(u,v) 
A est un convexe fermé de D(u,v) distinct de D(u,v) .
Deux cas
1. J(u,v) est borné donc de la forme [p , q] := { t.p + (1 - t).q | t [0 , 1] } où (p,q) A² .
Il n'y plus qu'à montrer que p et q sont des extrémaux de A .
2.J(u,v) n'est pas borné .
Si par exemple J(u , v) = { p + t.r │ t 
0 } ( où r 
0 ) il faut espérer que p est un extrémal de A .
l'enveloppe convexe d'un convexe est lui-même ...
si A-1, A_2, ..., A_n sont des points du convexe alors par définition (d'un convexe) tout barycentre de ces points est dans le convexe ...
il suffit donc de prendre l'enveloppe convexe des points et demi-droites extrémales ...
etniopal a proposé qq chose de très intéressant (et plus formel que moi) mais équivalent à ce que je dis ...
Je pense que c'est un peu plus compliqué que ce qui a été dit .
Une notation d'abord : Si A est une partie non vide , convexe d'un -ev E je désigne par A ' l'ensemble des éléments de E qui sont soit des extrémaux de A soit situés sur une demi-droite extrémale de A .
1. n = 1 .
Soit A une partie non vide , convexe et fermée de ne contenant aucune droite .
A est donc un intervalle fermé [a , b] ou une demi-droite fermée du type [a , +[ ou ]- , a] .
..Si A = { c } je ne vois pas ce que peut être A ' .( pas de demi-droite extrémale de A et c est-il un point extrémal de A ? ).
..Si A := [a , b] ( où a < b ) on a : A ' = {a , b}
..Si A = [a , +[ alors A ' = A ( car a est le seul extrémal de A et ]0 , +[ la seule demi-droite extrémale de A ).
Dans tous ces 2 cas on a bien : A = cv(A ') , l'enveloppe convexe de A ' .
2. n = 2 .
Soit A une partie non vide , convexe et fermée de ² ne contenant aucune droite .
Si A est contenu dans une droite et on est ramené au cas n = 1 .
On suppose donc que A n'est contenu dans aucune droite (de sorte que son intérieur est non vide puisque contenant l'intérieur d'un vrai triangle au moins).
On va montrer que A est contenu dans cv(A ') car l'inclusion inverse est vraie ) .
Soit donc x un élément de A qui ne soit pas extrémal ( si x est extrémal il est dans A ' donc dans cv(A ') . Il existe donc u et v dans A tels que x soit dans le segment ]u , v[ .
21.Supposons qu'on ait x 
A .
..On a : v A .
Sinon il existerait r > 0 tel que BO(v , r) 
A et l'homothétie h de sommet u qui transforme v en x transforme BO(v , r) en BO(x,r ') où r ' > 0 qui est contenue dans A et x serait intérieur à A . ( on peut faire un dessin pour s'en convaincre puis le démontrer ). Mais ceci est en contradiction avec ce qu'on a supposé .
..De même u A .
..En fait [u , v] est contenu dans A .
Soit alors J := { t > 0 tels que [ x , x + t(v - u) ] A} . C'est un intervalle fermé de + contenant 1 . S'il est borné soient s sa borne supérieure et c = x + s(v - u) .
On a donc c A ( ça se se prouve comme + haut avec une petite homothétie ) .
En plus b est extrémal .
Pour le voir : si ce n'était pas le cas existeraient a et b de A tels que c ]a , b[ et comme plus haut on aurait [a , b] A et il existerait t J tel que t > s .
De même si K := { t 
0 │ [ x , x + t(v - u) ] A} est borné inférieurement et si s' est sa borne inférieure et c ' = x + s'(v - u) c ' est un point extrémal de A .
Comme A ne contient pas de droite on ne peut avoir que les situations suivantes :
.. il existe p , q extrémaux distincts tels que x [p , q ]
..il existe p extrémal distinct de x tel que la demi-droite fermée D d'origine p contenant x soit contenue dans A .
Il reste à montrer que D est extémale (càd que A \ D est convexe ) ; ça se fait !!
Et ceci fait on voit que x A ' donc à cv(A ') .
22.Supposons que x A ( donc x est intérieur à A) .
La droite contenant u et v rencontre A en 2 points y et z tels que x ]y , z[ .
Si y et z sont des extrémaux il est clair que x cv(A ') .
Si q est extrémal et si p ne l'est pas , la partie 1. montre que p cv(A') et donc x cv(cv(A ') = cv(A '))
Si p n'est pas maximal et q non plus alors ....même chose : x cv(A '))
.
__________________________
Pour traiter le cas général n 3 je pense qu'avec une récurrence sur la dimension du sous espace affine engendré par A on peut s'en sortir.
On est alors amené à n'envisager que le cas où l' intérieur de A est non vide et la démonstration , je pense , devrait ressemble à celle que j'ai faite dans le cas n = 2 ..
quel bel exercice de style .... bien que je n'ai pas lu tout en détail 
deux choses :
qu'appelles-tu cv (A) ?
il me semble qu'on peut distinguer n = 1 des autres cas seulement
et pour n >= 2 on peut imposer que l'intérieur de A contienne au moins une boule ouverte ... ce qui exclue le cas n = 1
et que donc il n'y a pas besoin de récurrence ...
1. cv (X) = enveloppe convexe de X
2. " que l'intérieur de A contienne au moins une boule ouverte " ?
Pourquoi ne pas dire simplement " que l'intérieur de A n'est pas vide " ?
3..Avec la définition de " x est un point extrémal du convexe A " s'il vérifie 
(y,z) A² ( x [y , z] ) 
(x = y = z) on peut considérer que pour tout x d'un -ev , x est un extrémal de {x} .
Avec la définition : telle partie B du convexe A est dite extrémale si A \ B est encore convexe , on est amené à considérer la partie vide comme convexe .
Qu'en dit le camarade Jeansé ?
4. Il me semble qu'une récurrence est indispensable .
1/ merci
2/ effectivement
3/ oui j'y ai pensé puis oublié de l'écrire
pourquoi Jeansé ?
4/ toujours pas d'accord car toujours pas convaincu ... mais ça ne reste su'une intuition
cependant si A contient deux points x et y sans contenir la droite (xy) alors soit il contient un segment [pq] extrémal soit il contient une demi-droite [pq) extrémale (et contenant x et y)
et cela me semble suffisant pour conclure ...
Correction :
A moins que A soit un segment [p , q] , [p , q] est rarement une partie maximale de A .
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