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Théorème de rolle
Bonjour. J'ai un problème sur cet exercice.
On considère une fonction f définie sur R de la forme f(x)=xn+ax+b, n>=4 a et b des réels. On demande de montrer que f n'a pas plus de 3 racines différentes.
J'ai raisonné par l'absurde en supposant que f admet au moins 4 racines différentes que je note c1 c2 c3 et c4 classées de façon croissante dans cet ordre. Sachant que f s'annule en chaque ci (i=1,...,4) et connaissant la continuité et la dérivabilité de f sur tout intervalle, on peut appliquer le théorème de rolle sur chaque segment [ci,ci+1] i=1,...,3. Donc il existe des réels d1, d2, d3 tous différents et classés dans cet ordre où f' s'annule. Ainsi on a nd1n-1+a=nd2n-1+a=nd3n-1+a=0 ce qui signifie que d1=d2=d3 ce qui est contradictoire.
Mais en regardant le corrigé,ils ont procédé comme moi mais ont appliqué le théorème de rolle une nouvelle fois avant de déduire la contradiction et je ne sais pas pourquoi..
Ceci dit, je ne vois pas pourquoi il serait utile d'utiliser Rolle une seconde fois.
Trois réels égaux ou opposés ne peuvent être trois réels distincts.
Bonjour,
On peut visualiser graphiquement ce résultat en imaginant qu'on cherche l'intsesection des graphes de y1 = xn et de y2 = -ax-b
Le graphe de y2 = -ax-b est une droite.
Quand n est pair, le graphe de y1 est une courbe en cloche (penser à la parabole = x2), une droite quelconque le rencontre 0, 1 ou au plus 2 fois (le cas 1 correspond à une tangence).
Quand n est impair, le graphe de y1 est une courbe en S avec un point d'inflexion plat en (0 ; 0) (penser à la courbe y = x3), une droite quelconque le rencontre 1, 2 ou ou 3 fois (le cas 2 correspond à une tangence).
Au final, en regroupant les deux cas, on a bien 0, 1, 2 ou 3 solutions.
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