c'est du MIAS 2 ça ?

L'idée est d'appliquer le théorème des valeurs intéremédiaires à f'.

Notamment, si il existe c tel que c>a et f(c)=0 c'est terminé.
Sinon, f est soit strictement positive, soit strictement négative sur ]a,+oo[, on la suppose positive (sinon on considère -f)
Si f est constante sur un intervalle d'intérieur non vide sur ]a,+oo[,c'est terminé.

Supposons alors le contraire, notamment, puisque f est dérivable, f est soit strictement positive, soit strictement négative. Soit V(a) un visinage de a, f(x)>0 sur V(a)\{a} et f(a)=0 implique que f'(a)>0.

Pour des raisons pratiquement équivalentes, on peut montrer qu'il existe un M tel que x>M implique que f'(x)<0.
Notamment f est C1, donc f' continue, et on conclut.

Reste à mieux mettre ca en forme, mais c'est ton exo.
A+