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Niveau Licence Maths 1e ann
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(Théorème de Rolle ou point fixe ?)

Posté par
GameChangerMT
17-05-19 à 16:44

Bonjour,

J'ai besoin de votre aide pour la résolution de l'exercice suivant:
Soit f : [0,1][0,1], une fonction continue. Montrer qu'il existe un x0[0,1] tel que f(x0) = x0.

Merci d'avance !

Posté par
Glapion Moderateur
re : (Théorème de Rolle ou point fixe ?) 17-05-19 à 16:52

Bonjour, essaye d'appliquer le Théorème des valeurs intermédiaires à la fonction g(x) = f(x) - x

Posté par
carpediem
re : (Théorème de Rolle ou point fixe ?) 17-05-19 à 17:24

salut

soit f(0) = 0 et c'est fini soit f(0) > 0

considérer alors s = sup{t [0, 1] / f(t) > t}

montrer que f(s) = s

donc ni l'un ni l'autre ...

évidemment cette troisième voie nécessite fondamentalement la continuité de f ...

Posté par
Zrun
re : (Théorème de Rolle ou point fixe ?) 17-05-19 à 18:07

L'exercice est bien plus intéressant si on suppose f croissante ou si f est la dérivée d'une fonction dérivable sur [0,1]

Posté par
Glapion Moderateur
re : (Théorème de Rolle ou point fixe ?) 17-05-19 à 19:29

Citation :
L'exercice est bien plus intéressant si on suppose f croissante

Ben non alors ! il est plus intéressant au contraire si la seule chose que l'on sait de f c'est qu'elle continue et que l'image de [0,1] est [0,1].

Posté par
jarod128
re : (Théorème de Rolle ou point fixe ?) 17-05-19 à 19:44

Bonjour,
Zrun sous entendait que la fonction pouvait être juste croissante sans être continue...

Posté par
Glapion Moderateur
re : (Théorème de Rolle ou point fixe ?) 17-05-19 à 22:52

Citation :
Zrun sous entendait que la fonction pouvait être juste croissante sans être continue...

oui ? vous êtes sûr que ça marche ça ?

Posté par
Zrun
re : (Théorème de Rolle ou point fixe ?) 17-05-19 à 22:59

carpediem @ 17-05-2019 à 17:24



considérer alors s = sup{t [0, 1] / f(t) > t}

montrer que f(s) = s

C'est l'idée si f est croissante .
Si f est la dérivée d'une fonction dérivable sur [0,1] alors on montre que f vérifie la propriété des valeurs intermédiaires et on conclut comme dans le cas f continue !

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