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Niveau Licence Maths 1e ann
(Théorème de Rolle ou point fixe ?)
Posté par GameChangerMT
Bonjour,
J'ai besoin de votre aide pour la résolution de l'exercice suivant:
Soit f : [0,1]
[0,1], une fonction continue. Montrer qu'il existe un x0
[0,1] tel que f(x0) = x0.
Merci d'avance !
salut
soit f(0) = 0 et c'est fini soit f(0) > 0
considérer alors s = sup{t [0, 1] / f(t) > t}
montrer que f(s) = s
donc ni l'un ni l'autre ... 
évidemment cette troisième voie nécessite fondamentalement la continuité de f ...
L'exercice est bien plus intéressant si on suppose f croissante ou si f est la dérivée d'une fonction dérivable sur [0,1]
Citation :
L'exercice est bien plus intéressant si on suppose f croissante
L'exercice est bien plus intéressant si on suppose f croissante
Ben non alors ! il est plus intéressant au contraire si la seule chose que l'on sait de f c'est qu'elle continue et que l'image de [0,1] est [0,1].
Citation :
Zrun sous entendait que la fonction pouvait être juste croissante sans être continue...
Zrun sous entendait que la fonction pouvait être juste croissante sans être continue...
oui ? vous êtes sûr que ça marche ça ?
carpediem @ 17-05-2019 à 17:24
considérer alors s = sup{t [0, 1] / f(t) > t}
montrer que f(s) = s
considérer alors s = sup{t
[0, 1] / f(t) > t}
montrer que f(s) = s
C'est l'idée si f est croissante .
Si f est la dérivée d'une fonction dérivable sur [0,1] alors on montre que f vérifie la propriété des valeurs intermédiaires et on conclut comme dans le cas f continue !
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