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Théorème de Rolle, Polynôme de Lagrange...

Posté par Panchoo (invité) 23-02-05 à 11:43

Voila une question que j'ai du mal a traiter, merci de m'aider

On note L(X) le polynôme d'interpolation de Lagrange de f aux n+1 points Xi ( où f est une fonction continue n+1 fois ).

Montrer que X,, f(X)-L(X) = (1/(n+1)!) * (X-X0)*(X-X1)*...*(X-Xn)*fn()

où fn() représente la dérivée n-ième de f.

Indication : Rolle and Rolle à une fonction auxiliaire et dérivées n-ièmes de polynomes...

Je pense qu'il faut utiliser g(X)=f(X)-L(X) comme fonction auxiliaire et appliquer Rolle a chaque intervalle [Xi;Xi+1] mais apres je reste bloquer je n'arrive pas à faire "sortir" cette forme.

Posté par
franzre : Théorème de Rolle, Polynôme de Lagrange... 25-02-05 à 00:51

Oui l'idée est bonne mais il faut mieux utiliser l'énoncé.

1° cas X \in \{X_0,X_1,\cdots,X_n\}

dans ce cas \forall \alpha \in {\mathbb R},\;f(X)-L(X)=0=\frac 1 {(n+1)!}(X-X_0)(X-X_1)\cdots(X-X_n)f^{(n)}(\alpha)

2° cas X \notin \{X_0,X_1,\cdots,X_n\}

dans ce cas \LARGE \green \exists M \in {\mathbb R},\; f(X)-L(X)=\frac 1 {(n+1)!}(X-X_0)(X-X_1)\cdots(X-X_n)\,M
           (M=\frac {(n+1)!\,(f(X)-L(X))}{(X-X_0)(X-X_1)\cdots(X-X_n)})


On considère la fonction h : x \to f(x)-L(x) - \frac M {(n+1)!}(x-X_0)(x-X_1)\cdots(x-X_n)
La fonction h s'annule pour tous les \(X_i\)_{i\in[[0,n]]} ainsi que pour X.

On classe l'ensemble formé des \(X_i\)_{i\in[[0,n]]} et X dans l'ordre croissant. Par commodité je les renomme \(\alpha^0_i\)_{i\in[[0,n+1]]}                

             (     \{\alpha^0_i,\,i\in[[0,n+1]]\} = \{X_i,\,i\in[[0,n]]\} \cup \{X}  et    \forall i \in [[0,n]]\; \alpha^0_i<\alpha^0_{i+1}       )

En appliquant Rolle à h sur chaque intervalle [\alpha^0_i,\alpha^0_{i+1}]
Tu obtiens ainsi n+1 valeurs que je note \(\alpha^1_i\)_{i\in[[0,n]]} pour lesquelles
\{ \array{\alpha^1_i \in ]\alpha^0_i\,,\,\alpha^0_{i+1}[ \\h^'(\alpha^1_i)=0}

On réapplique Rolle à la fonction h^' sur chaque intervalle ]\alpha^1_i\,,\,\alpha^1_{i+1}[

Tu obtiens ainsi n valeurs \(\alpha^2_i\)_{i\in[[0,n-1]]} pour lesquelles
\{ \array{\alpha^2_i \in ]\alpha^1_i\,,\,\alpha^1_{i+1}[ \\h^{(2)}(\alpha^2_i)=0}

et ainsi de suite

On arrive au bout de n+1 étapes à l'existence d'un réel \alpha =\alpha^{n+1}_0 pour lequel
\blue \{ \array{\alpha^{n+1}_0 \in ]\alpha^{n}_0\,,\,\alpha^{n}_1[ \\h^{(n+1)}(\alpha^{n+1}_0)=0}


Ceci étant dit on a
\bullet \; L polynôme d'intepolation de lagrange des (X_i)_{i\in[[0,n]]} donc \rm{deg}(L)\le n donc \red L^{(n+1)=0}
\bullet \; \frac M {(n+1)!}(x-X_0)(x-X_1)\cdots(x-X_n)=\frac M {(n+1)!}\(x^{n+1}+\Bigsum_{i=0}^n a_i \,x^i\) donc en dérivant (n+1) fois
\bullet \;\red \frac M {(n+1)!}\[(x-X_0)(x-X_1)\cdots(x-X_n)\]^{(n+1)}=M

Cela conduit à \red h^{(n+1)} = f^{(n+1)} - M

En combinant la dernière expression rouge et l'expression bleue on parvient à
              \LARGE \green \exists \alpha\in {\mathbb R} \; f^{(n+1)}(\alpha) = M
qui réintroduite dans l'expression verte permet de conclure.



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