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Niveau seconde
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Théorème de Thalès

Posté par
kikipopo
02-01-21 à 15:53

Je dois résoudre  le problème suivant :
Une ville carrée de dimension inconnue comprend une porte au milieu de chaque côté. À l'extérieur de la ville, vingt pas après la sortie nord, se trouve un arbre. Si tu quittes la ville par la porte sud, marche quatorze pas vers le sud puis mille sept cent soixante-quinze pas vers l'ouest et tu commenceras tout juste à apercevoir l'arbre. On cherche les dimensions de la ville.


On repère les triangles semblables suivants :
AA'P et ABP' car BP' et PA' sont perpendiculaires à une même droite AA' donc parallèles.
Soit x la longueur du côté de la ville.
Soit x/2 la longueur du côté BP'
On peut écrire :
AB/AA' = AP'/AP = P'B/PA'
20/20+34+x= [(x/2)]/1775
35500= 34x+x2 /2
71000 =68x + x2
71000 = x(68+x)
Je ne sais pas aller plus loin

Théorème de Thalès

Posté par
hekla
re : Théorème de Thalès 02-01-21 à 16:23

Bonjour

Pourquoi 2 fois 20 ?  
La distance AA' est 20+x+14= 34+x

\dfrac{AB}{AA'}=\dfrac{P'B}{A'P}

\dfrac{20}{34+x}=\dfrac{\frac{x}{2}}{1775}

20\times 1775=\dfrac{x}{2}(34+x)

Vous n'avez pas vu les équations du second degré ?

Posté par
kikipopo
re : Théorème de Thalès 02-01-21 à 16:50

Je n'ai pas multiplié 20 par 2
J'ai tout mis au même dénominateur

1775*20 = 34x+x2/2 (c'est dans cette expression que j'ai fait une erreur)
35500  = (34x+X2)/2

34x+x2=71000
34x+x2-71000 = 0
x(34+x) - 71000 =0
x = 0 impossible
x=71000-68
x = 70932
Je me trompe encore quelque part

Posté par
hekla
re : Théorème de Thalès 02-01-21 à 17:08

Je pensais à cette écriture  20/20+34+x=

 x^2+34x-71000=0


 x^2+34 x est le début du développement du carré de  (x+17) en effet (x+17)^2=x^2+34x +289

On va donc écrire

 x^2+34x=(x+17)^2-289

L'équation devient alors

(x+17)^2-289-71000=0 ou encore  (x+17)^2-71289=0

En remarquant que 71289=267^2 on est amené à résoudre (x+17)^2-267^2=0


équation que je vous laisse résoudre

Posté par
kikipopo
re : Théorème de Thalès 02-01-21 à 17:20

Je n'ai pas appris à résoudre une équation du second degré.
\sqrt{(x+7)2} = 267

Posté par
hekla
re : Théorème de Thalès 02-01-21 à 17:33

Vous savez en résoudre certaines par exemple  (x+17)^2-267^2=0

parce que c'est de la forme A^2-B^2=0  et vous savez que
\text{Pour qu'un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit que l'un au moins des facteurs le soit. 
 \\ }
ce qui ramène à deux équations du premier degré.

Sans passer par le début du développement d'un carré, je ne sais trop quoi vous dire.

Vous a-t-on parler de parabole ?

Posté par
hekla
re : Théorème de Thalès 02-01-21 à 17:35

Sous le pavé ce texte :

\text{Pour qu'un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit que l'un au moins des facteurs le soit}

Posté par
hekla
re : Théorème de Thalès 02-01-21 à 17:35

parlé

Posté par
kikipopo
re : Théorème de Thalès 02-01-21 à 17:54

Oui, je sais que pour qu'un produit de facteurs soit nul, il suffit que l'un des facteurs soit nul. Même si je devais écrire 71000-34 et non - 68
c'est ce que j'ai écrit dans mon premier message.

oui j'ai travaillé sur les paraboles.

Posté par
hekla
re : Théorème de Thalès 02-01-21 à 18:04

Que vous a-t-on dit sur les paraboles ?

Que l'on pouvait écrire y =ax^2+bx+c comme y=a(x-\alpha)^2+\beta

\alpha=-\dfrac{b}{2a}

Posté par
kikipopo
re : Théorème de Thalès 02-01-21 à 18:14

Non, je n'ai pas encore vu ça.
Je dois m'absenter.
Je reprendrai plus tard.
Merci

Posté par
hekla
re : Théorème de Thalès 02-01-21 à 18:34

d'accord

Posté par
kikipopo
re : Théorème de Thalès 02-01-21 à 22:21

J'ai appris à écrire la fonction y =ax2 +2x+b = 0 à partir des coordonnées de points sur la parabole.

\alpha = -b/2a = -17

Posté par
hekla
re : Théorème de Thalès 02-01-21 à 22:26

Savez-vous écrire ax^2+bx+c comme a\left(x-\dfrac{-b}{2a}\right)^2+\beta ?

ou a(x-\alpha)^2+\beta avec  \alpha =-\dfrac{b}{2a}

Posté par
kikipopo
re : Théorème de Thalès 02-01-21 à 23:36

a(x+7)[sup][2/sup]-269) +\beta
\beta=

Posté par
kikipopo
re : Théorème de Thalès 03-01-21 à 08:34

Je ne comprends pas le pavé.
\sqrt{(x+17)2}=\sqrt{267}
Cette équation est fausse ?
Sinon
x=267-17
x=250

a(x-17)2+\beta
(x-17)2=-\beta/a
J'ai recherché à quoi correspondait -b/2a qui correspond à\Delta=b2-4ac = 0
l'équation ne permet qu'une solution

Posté par
hekla
re : Théorème de Thalès 03-01-21 à 11:06

Je préférerais  (x+17)^2-267^2=0 \iff (x+17-267)(x+17+267)=0

 (x-250)(x+284)=0 d'où x=250 l'autre n'étant pas possible pour une longueur car négative

le -b/(2a) provient de la considération du début du développement d'un carré

Posté par
kikipopo
re : Théorème de Thalès 03-01-21 à 12:17

Pouvez-vous me dire comment je pourrais continuer :
(x-17)2=-\beta/a

J'ai appris que \alpha  est  l'abscisse  du  sommet  de  la  parabole  et  \beta  son ordonnée.
Mais après je ne vois pas comment arriver au résultat

Posté par
hekla
re : Théorème de Thalès 03-01-21 à 12:46

On n'a pas cela sauf si f(x)=0 ou ax^2+bx+c=0

ce que l'on a  est : ax^2+bx+c=a(x-\alpha)^2+\beta avec \alpha=-\dfrac{b}{2a} et \beta=\dfrac{4ac-b^2}{4a}

En remplaçant vous avez obtenu (x-(-17))^2-267^2

Si vous cherchez les valeurs qui annulent ceci  le plus simple est la factorisation

(x+17)^2-267^2)=(x+17-267)(x+17+267)  ensuite produit nul


Ou je connais la résolution d'une équation du second degré et dans ce cas j'applique

\Delta=b^2-4ac

S'il est positif  2 racines  x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

Ou je ne connais pas et on refait le calcul

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

dans x^2+34x-71000  ce qui gêne est le terme en x

on considère donc 34 x comme le double produit dans le développement de cette identité   34x=2\times 17 \times x


donc (x+17)^2=x^2+34x+289

on en déduit que x^2+34x =(x+17)^2-289 on reporte dans l'expression de départ

x^2+34x-71000=(x+17)^2-289-71000 =(x+17)^2-71289



Si l'on cherche les valeurs qui annulent cette expression  on va la factoriser puisque l'on reconnaît une identité remarquable A^2-B^2

(x+17)^2-71289=0 \iff (x+17-267)(x+17+267)=0

Produit nul  x=250 ou x=-284

seule la première solution convient l'autre étant négative

Posté par
kikipopo
re : Théorème de Thalès 03-01-21 à 13:22

Merci.
Je comprends l'idée de transformer  (x2+34x) en (x+17)2 - 172, mais je ne vois pas comment on peut y penser si on ne l'a pas appris.

Posté par
hekla
re : Théorème de Thalès 03-01-21 à 13:49

Entièrement d'accord, l'idée est à chercher peut-être dans la résolution au x^e siècle en utilisant une forme géométrique

Même dans l'autre sens on est amené à résoudre une équation du second degré

Posté par
kikipopo
re : Théorème de Thalès 03-01-21 à 13:53

Oui, j'ai essayé avec Pythagore mais j'avais le même problème.
Merci.
Et la meilleure année possible.

Posté par
hekla
re : Théorème de Thalès 03-01-21 à 14:26

Le problème st intéressant car change un peu mais il a été posé trop tôt puisqu'il nécessite de connaître le second degré à moins que ce ne fut une manière déguisée de vous obliger à ouvrir votre livre.

De rien  
À vous de même bonne année

Posté par
kikipopo
re : Théorème de Thalès 03-01-21 à 17:32

Je croyais que c'était un devoir sympa pour rattraper le même coup fait pour le dernier DST (comme pour tous) ce qui était le cas pour les 2 autres exercices.
Pour celui-là, il n'y a que cette équation du second degré qui était difficile. Le début était bien assimilé maintenant.
Merci

Posté par
hekla
re : Théorème de Thalès 03-01-21 à 17:39

En elle-même elle n'est pas difficile si on sait résoudre une telle équation  ou si on a entendu parler du début du développement d'un carré
Bon courage pour la rédaction
de rien  



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