Bonjour tout le monde, je rencontre quelques difficultés face à la preuve du théorème de transition des graphes probabilistes.

Théorème : soient un graphe probabiliste d'ordre 2 et M sa matrice de transition M =
où (a,b) [0,1]² avec a 1 ,b 0 et (a,b) (0,1)

(X_n)_nest la suite des états probabilistes définie par; Xn+1 = Xn M et X₀ = [,ß] où (, ß)   [0,1]² et +ß = 1

Alors admet un unique état stable X et pour tout état initial Xo,Xn converge vers X.

Remarque 0 : X=^def[u_n v_n] converge vers X=^def[u v] signifie que u_n→ u et v_n→ v


Remarque 1 :
- le théorème est mis en défaut si a = 1 ou b= 0. Etudier ces cas particuliers. Que peut-on dire du graphe de transition?

-Le théorème est mis en défaut lorsque (a, b) = (0,1) Etudier ce cas particulier. Décrire alors l'évolution de n'importe quel état probabiliste.

Remarque 2 : L'état stable est nécessairement probabiliste.

Preuve du théorème :

1) Calculer le déterminant de M. En déduire que M admet un unique état stable
X= et que cet état est bien un état probabiliste.

2) On pose P =. Prouver que P est inversible et déterminez P^-1.
3) Prouver que M = PP^-1


4) En déduire que : Mⁿ=

Puis que:
X_n=


5) Etablir le résultat annoncé par le théorème.

6) Retrouver, à l'aide de l'expression de Xn ,l'étude du cas (a, b) = (0,1).


Ouf! Voilà je bloque dès la première question, j'ai du mal à comprendre le Théorème bien que très vaguement, je suis sûr que je pourrais arriver à faire des choses seule comme la question 2 et 3 de la preuve mais non la 1 par exemple.
Merci d'avance pour votre aide!