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Théorème de Voronovski

Posté par
Panter Correcteur 19-04-07 à 01:34

Salut , pour cette soirée, j'ai choisi un sujet d'analyse, bonne reflexion :


3$ E = C([0,1],\mathbb{C}) .
Pour tout 3$ n \in \mathbb{N}, on note 3$ B_n :E \longrightarrow E l'application définie par : 3$ \forall f \in E, 3$ \forall x \in [0,1] :

5$ B_n(f)(x) = \bigsum_{k=0}^{n} {n \choose k} f(\frac{k}{n}) x^k (1-x)^{n-k} (n ème polynôme de Bernstein )

Soit 3$ f :[0,1] \longrightarrow \mathbb{C} de classe 3$ C^2 et 3$ x \in [0,1]

1) Montrer que : 5$ n(B_n(f)(x) -f(x))\longrightarrow \frac{1}{2} x (1-x) f^{''}(x) .

2) En déduire que, si 3$ f :[0,1] \longrightarrow \mathbb{C} est de classe 3$ C^2 et non affine; alors 3$ ||B_n(f) -f||_{\infty} n'est pas un 5$ o(\frac{1}{n}) (petit o) quand 3$ n tend vers l'infini .

Posté par
anonymere : Théorème de Voronovski 19-04-07 à 12:55

bonjour panter, x tend vers quelle valeur dans la première question ?

Posté par
perroquetre : Théorème de Voronovski 19-04-07 à 12:59

Bonjour, hatimy.
Panter n'étant pas sur le forum:
x est un élément quelconque de [0,1], fixe.

Posté par
anonymere : Théorème de Voronovski 19-04-07 à 13:01

bonjour perroquetk, et donc qu'est ce qui tend vers 1/2 x(1-x) f"(x) ?

Posté par
anonymere : Théorème de Voronovski 19-04-07 à 13:05

désolé j'ai dit n'importe quoi ! je retire ce que j'ai dit ! c'est donc le n :embarass

Posté par
perroquetre : Théorème de Voronovski 19-04-07 à 13:05

Quand n tend vers l'infini, n( B_n(f)(x)-f(x) ) tend vers  1/2x(1-x)f''(x)

Posté par
Panter Correcteurre : Théorème de Voronovski 19-04-07 à 14:53

Bonjour

3$ n \longrightarrow +\infty, c'est ce qui nous interesse toujours quand on étudie des suites ou des séries

Posté par
anonymere : Théorème de Voronovski 19-04-07 à 14:54

Bonjour panter,
est ce que tu pourrais jeter un coup d'oeil sur ton dernier sujet stp ? je veux savoir mes erreurs dessus

Posté par
Panter Correcteurre : Théorème de Voronovski 23-04-07 à 15:51

Bonjour

est-ce-que vous avez besoin d'une indication ?

Posté par
anonymere : Théorème de Voronovski 23-04-07 à 20:05

déjà c'est abordable pour la sup ?


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