Bonjour

1. Je suppose que tu fais avec Bézout.

2. Regarde l'équation

3. Remarque que sauf 1 et -1, les autres se regroupent deux à deux par couples d'inverses.

Ok, merci beaucoup je vais voir si je m'en sors avec ça

Bonjour, je suis bloqué sur cet exercice aussi. Je crois avoir réussi la question 1 et 2 mais pas la 3 dont je ne comprend même pas l'énoncé: "En déduire que (p-1)! est congru à -1 modulo p.
Que signifie le point d'exclamation après la parenthèse ?
Merci de me répondre le plus vite possible.

Bonjour,

ça veut dire "factorielle"
le produit de tous les nombres entiers de 1 jusqu'à p-1 inclus.

6! = 1×2×3×4×5×6

d'où la remarque de Camélia : dans ce produit, les facteurs se regroupent deux par deux en tant qu'inverses l'un de l'autre
sauf le 1 et le p-1 ≡-1 [p]

par exemple, dans 6! le facteur 2 et le facteur 4 sont inverses l'un de l'autre modulo 7
le facteur 3 et le facteur 5 aussi sont inverses l'un de l'autre

Merci mais je ne comprend pas en quoi cela prouve ce qui est demandé. De plus, la suite de l'exercice demande d'utiliser ce théorème mais je ne comprend vraiment pas comment faire d'autant plus que je ne n'ai jamais eu de cours sur la factorielle.

bein si
2 et 4 inverses veut dire que 2×4 ≡ 1 [7]
idem pour 3 et 5
(vérifie le)

et donc 6! = 1×2×3×4×5×6 = 1×(2×4)×(3×5)×6 ≡ 1×(1)×(1)×(-1) [7]
à faire et justifier dans le cas général. (à partir des questions précédentes)

D'accord merci je pense avoir réussi à le rédiger comme il faut.
Mais comment dois-je faire pour utiliser le théorème ? Par exemple pour calculer l'inverse de 7 modulo 11 ?

Et j'ai une deuxième question : pour la reciproque, c'est à dire prouvez que si (p-1)!congru à -1 [p] alors p est premier, j'arrive à la conclusion que p et a (pour a appartenant à Ap) sont premiers. Est ce que cela suffit a prouver que p est premier ?

J'ai trouvé 8 en inverse de 7 modulo 11, est-ce correct ?

Bonjour

Oui, montrer que et sont premiers entre eux pour montre bien que est un nombre premier, sinon il aurait un diviseur.

Oui, 8 est bien l'inverse de 7 modulo 11

un nombre premier est un nombre qui n'est divisible par aucun nombre plus petit (sauf 1)

pour utiliser le théorème de Wilson et trouver l'inverse a de 7 modulo 11 on écrit que
1 ≡ 7× a ≡ -(p-1)! ≡ -1×2×3×4×5×6×7×8×9×10 [11]
et comme 7 est premier avec 11 on peut simplifier cette congruence en
a ≡ -1×2×3×4×5×6×1×8×9×10 [11]
(le produit de tous les nombres sauf 7, et on prend l'opposé modulo 11
on peut simplifier encore vu que -1 ≡ 10 [11]

bien entendu on n'effectue pas cette multiplication comme ça brusquement mais on réduit modulo 11 chaque produit au fur et à mesure qu'on les effectue

on n'aura ainsi jamais de nombres plus grand que 10²

pour vérifier que 8 est bien l'inverse de 7 il suffit d'effectuer le produit 8×7 et de le réduire modulo 11.

D'accord merci beaucoup.

nota : cette méthode est assez barbare vu qu'il faut effectuer de l'ordre de p multiplications
alors autant essayer les nombres sauvagement un par un pour tester si chacun ne serait pas l'inverse de a modulo p !!

l'utilisation de l'algorithme d'Euclide étendu pour trouver cet inverse est bien plus efficace

Je connais l'algorithme d'Euclide pour calculer le PGCD de 2 nombres mais l'algorithme d'Euclide étendu je ne vois pas ce que c'est...

ça sert à résoudre ax + by = 1 c'est à dire à trouver des "coefficients de Bézout", x et y, leur existence équivalant à "a et b sont premiers entre eux" (leur PGCD vaut 1)

ax + by = 1 équivaut à ax ≡ 1 [b] et donc à trouver l'inverse x de a modulo b

mais tout ceci serait un tout autre exercice, que l'on ne fera pas ici.
je signalais juste l'existence d'un algorithme bien plus efficace que d'utiliser le théorème de Wilson !