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Niveau maths sup
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Théorème de Zeckendorf

Posté par
Rio90000
14-09-21 à 22:32

Bonsoir,
Je dois répondre à ces questions mais je sèche
Soit n ∈N∗. La suite (F_n)_{n>=2} étant strictement croissante de limite +∞ avec F_2 =1, on peut noter N le plus grand
entier supérieur ou égal à 2 pour lequel F_N <= n. Montrer que pour tout i ∈N, si F_i <= n − FN , alors N−i >= 2.
C'est une implication que je dois faire , je suppose F_i <= n − FN vraie et je montre  N−i >= 2. Mais je ne sais pas quoi faire de plus. Et on sait que F_N < F_N+1.
Montrer par récurrence que tout entier naturel non nul possède une représentation de Zeckendorf
Je sèche totalement mais j'ai l'intuition qu'il faut faire une récurrence forte car le nombre dépend de tous les termes d'avant.
Pouvez-vous m'aider.

Posté par
ty59847
re : Théorème de Zeckendorf 14-09-21 à 23:41

Je recopie l'énoncé, de façon lisible.
Avec un énoncé lisible sous les yeux, on pourra commencer à chercher.
Ou pas.
Soit n ∈N∗. La suite (F_n)_{n>=2} étant strictement croissante de limite +∞ avec F_2 =1, on note N le plus grand
entier  n \ge 2 tel que F_n \le n. Montrer que
\forall i \in \N,  F_i \le N - F_N  \Rightarrow  i \le N-2.

Je suppose que la suite F est à valeurs entières, même si ce n'est pas dit.

Posté par
Rio90000
re : Théorème de Zeckendorf 15-09-21 à 00:27

Effectivement F est à valeur entière et je viens de réussir cette question. En revanche j'ai vraiment besoin d'aide pour ontrer par récurrence que tout entier naturel non nul possède une représentation de Zeckendorf. Quelqu'un pourrait m'aider ?

Posté par
ty59847
re : Théorème de Zeckendorf 15-09-21 à 18:02

Je pense que si tu recopiais l'énoncé précis de l'exercice, ce serait plus clair.

Ici, à part en allant chercher des infos sur ce Zeckendorf,   et à part le petit indice (la suite s'appelle F),  c'est à peu près impossible de deviner que tu parles d'une suite de Fibonacci.

Posté par
Rio90000
re : Théorème de Zeckendorf 15-09-21 à 21:07

(Théorème de Zeckendorf) Tout entier naturel non nul n se décompose d'une et une seule façon, dite
représentation de Zeckendorf de n, sous la forme : n = Fu_0 +... +F_ur où r est un entier naturel et où u_0,...,u_r sont
des entiers naturels pour lesquels u_0 >=2 et pour tout i ∈ aux entiers naturels de 1 à r  inclus :  u_i+1 −u_i >= 2.

Posté par
ty59847
re : Théorème de Zeckendorf 15-09-21 à 22:03

J'abandonne.



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