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Théorème des Fonctions Implicites

Posté par
fusionfroide 05-01-07 à 19:13

Salut

J'ai 4$\fbox{f(x,y)=exp{x}+exp{y}+x-y-2}

L'étude se fait en 4$(0,0)

C'est une bête application du théorème des fonctions implicites (TFI)

On a :

1) dimension de l'espace source > dimension de l'espace but

2) f est de classe 4$C^{\infty}

3) 4$Jac_{(x,y)}f=(4$exp{x}+1  4$exp{y}-1)

Donc 4$Jac_{(0,0)}f=(4$2 4$0)

Prenons 4$A=(2) comme sous-matrice 4$1\times 1 inversible.

Le TFI nous affirme donc que :

1) il existe 4$V un voisinage ouvert de 4$0 dans 4$\mathbb{R}

2) il existe 4$Z un voisinage ouvert de 4$0 dans 4$\mathbb{R}

3) il existe 4$\phi : V->Z telle qu'en posant 4$W=V\times Z, 4$(x,y) \in S \cap W 4$\Longleftrightarrow x=\phi(y)


Ce que je ne comprends pas : a-t-on ici 4$x=\phi(y) ou alors 4$y=\phi(x) ? Pour moi, c'est la premier cas.

Merci

Posté par
fusionfroidere : Théorème des Fonctions Implicites 05-01-07 à 19:15

en fait, je prends la sous-matrice correspondant à 4$\frac{\partial f}{\partial x} donc normalement on a 4$x=\phi(y) je pense

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème des Fonctions Implicites 05-01-07 à 19:18

Re fusionfroide

Oui, c'est bien le premier cas.
En effet, il faut se souvenir que pour pouvoir exprimer y en fonction de x, il suffit que la dérivée par rapport à x soit non nulle.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorème des Fonctions Implicites 05-01-07 à 19:20

Merci pour la confirmation kaiser !

PS : vous faites encore du calcul diff en master ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème des Fonctions Implicites 05-01-07 à 19:29

Je t'en prie !

Citation :
vous faites encore du calcul diff en master ?


En fait, je crois que ça dépend plus ou moins des facs.
Pour ma part, je n'en fais plus.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorème des Fonctions Implicites 05-01-07 à 19:32

ok et bon courage pour tes études

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème des Fonctions Implicites 05-01-07 à 19:33

Merci, toi aussi !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorème des Fonctions Implicites 05-01-07 à 19:39

Posté par
fusionfroidere : Théorème des Fonctions Implicites 05-01-07 à 21:21

Re,

Quelqu'un aurait-il l'amabilité de me charger un fichier .ps (sur des maths bien-sûr ), puis de le transformer en un autre format pour que je puisse l'ouvrir ?

Est-ce possible ?

Je n'ai rien pour télécharger ce type de fichier et c'est un receuil d'exos très intéressants.

Merci

Posté par
fusionfroidere : Théorème des Fonctions Implicites 05-01-07 à 21:24

PS () : voici le lien :

Posté par
Cauchyre : Théorème des Fonctions Implicites 05-01-07 à 21:25

Salut,

telecharge Ghostview c'est gratuit.

Posté par
fusionfroidere : Théorème des Fonctions Implicites 05-01-07 à 21:27

Salut, le problème c'est que je l'ai déjà (enfin je pense) mais à chaque fois que j'essaie d'ouvrir le lien, on me renvoie sur une page internet !

Posté par
Cauchyre : Théorème des Fonctions Implicites 05-01-07 à 21:31

J'arrive pas à l'ouvrir la.

Posté par
fusionfroidere : Théorème des Fonctions Implicites 05-01-07 à 21:33

Voici le lien brut : www.math.jussieu.fr/~charles/LM360/Exo4_quar.ps

Posté par
Cauchyre : Théorème des Fonctions Implicites 05-01-07 à 21:40

C'est ton prof?

La j'arrive à l'ouvrir. Si tu as Ghostview pourquoi ca ouvre pas?

En plus il y a le fichier en pdf à cote.

Posté par
fusionfroidere : Théorème des Fonctions Implicites 05-01-07 à 21:42

Non non ce n'est pas mon prof !

Tu pourrais me passer la version pdf ?

Merci

Pour ce qui est du logiciel, j'arrive sur cette page : .

Le logiciel s'ouvre normalement, mais quand je clique sur télécharger, il me renvoie à cette page

Posté par
Cauchyre : Théorème des Fonctions Implicites 05-01-07 à 21:44

Tu remontes juste au repertoire du dessus j'ai vu qu'il y avait des documents de geometrie differentielle qui pourraient m'interesser.

www.math.jussieu.fr/~charles/LM360

Posté par
fusionfroidere : Théorème des Fonctions Implicites 05-01-07 à 21:47

Très sympa merci Cauchy !

Posté par
Cauchyre : Théorème des Fonctions Implicites 05-01-07 à 21:53

De rien

P.S:t'en as pas marre du calcul diff ?

Posté par
fusionfroidere : Théorème des Fonctions Implicites 05-01-07 à 21:55

Citation :
P.S:t'en as pas marre du calcul diff ?


Si, si, je pars bientôt en cure

Posté par
fusionfroidere : Théorème des Fonctions Implicites 05-01-07 à 23:35

Re avec un autre problème :

Soit 4$f une fonction strictement croissante et de classe 4$C^1 sur 4$]0,\infty[ telle que 4$f(1)=f^'(1)=0

Soit 4$k la fonction de 4$U=]0,\infty[\times ]0,\infty[ dans 4$\mathbb{R} définie par : 4$\blue \fbox{\fbox{k(x,y)=f(\frac{y}{x})}}

Je dois montrer que l'équation 4$k(x,y)=0 peut se résoudre suivant la variable 4$x

Boon déjà on a : \red\fbox{\fbox{4$\frac{\partial k}{\partial x}(x,y)=-\frac{y}{x^2}f^'(\frac{y}{x})}}

Mais aurais-tu une idée pour la suite ?

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème des Fonctions Implicites 05-01-07 à 23:50

Re fusionfroide

Je ne comprends pas.
Comme f est strictement croissante, alors en particulier l'équation f(t)=0 admet au plus une solution qui est alors 1.
On en déduit donc que K(x,y)=0 si et seulement si x=y.
C'est louche non : je ne me sers même pas de toutes les hypothèses.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorème des Fonctions Implicites 05-01-07 à 23:55

Bah moi c'est pareil, je ne me sers pas de toutes mes hypothèses...

Posté par
fusionfroidere : Théorème des Fonctions Implicites 06-01-07 à 00:04

Mais ce que tu as fait, est-ce suffisante pour montrer que l'on peur résoudr k(x,y)=0 suivant x  ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème des Fonctions Implicites 06-01-07 à 13:43

Bonjour fusionfroide

Il me semble bien que oui puisque l'on résout explicitement : on a x=y, à moins que je n'ai pas vraiment saisi le sens de la question.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorème des Fonctions Implicites 06-01-07 à 14:17

Ok merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorème des Fonctions Implicites 06-01-07 à 14:19


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