Bonjour,
en général en analyse complexe on démontre souvent un résultat utile pour calculer ce genre d'intégrales.

Notamment, si tu as une fonction rationelle R, tu peux te ramener à un calcul tout simple lorsque tu calcules l'intégrale de R(cos(t)) ou de R(sin(t)).
Je ne me rappelle plus trop de la méthode, je vais la rechercher si tu veux.

il faut peut-être prendre théta = R.e^(i.Théta)?
avec le théorème des résidus fo trouver des poles, genre 5/4=cos(théta)? en réel ça serait pas possible mais avec les complexe oui mais comment

Je ne me rappelle plus trop de la méthode, je vais la rechercher si tu veux.
->oh ouiparce que ça ne me dis rien et qu'il n'y a pas eu de résultat auparavant. c un exo que j'ai eu ds un partiel et j'ai pas su le faire donc qqch de smiliaire peut retomber en ratrape.

Ok c'est sur que ce que je te dis ne dois pas t'aider.
Je vais rechercher un lien ou un cours sur le sujet parce que c'est le genre de trucs qu'il faut voir une fois dans sa vie, mais qu'on oublie très vite aussi

L'idée est comme je le pensais de faire la transformation
exp(it)=z
ainsi tu as 2cos(t)=z+1/z
Notamment tu obtiens après changement de variables une fraction rationnelle classique, dont l'intégrale se calcule facilement par le théorème des résidus.
Je te donne un lien qui t'explique tout ca un peu mieux, et avec des exemples.
On est jamais mieux servit que par les universités de Montréal :
http://www.dms.umontreal.ca/~giroux/documents/analyseC00.pdf

Cours ultra classique sur le sujet.
Bonne chance,
A+

oups j'ai oublié, regarde page 66-67

bonjour

cela me donne
(2z²+2)dz/(-8z²+5z-8)
bornes de 0 à 2 pi

et après il faut faire quoi? ds les réels y a pas de solutions et ds les complexes je sais pas si on peut arriver à factoriser.

et meme si je trouvais disons z1 et z2 des poles au dénominateur, j'aurai
(2z²+2)/[(z-z1)(z-z2)], décomposé cela donnerait A/(z-z1) + B/(z-z2) ou alors A/(z-z1) + B/(z-z2) + Cz+D/[(z-z1)(z-z2)](je suis à la masse)

et ensuite meme si j'arrivais à décomposer en élément simple, je dis que l'intégrale, c'est 2ipi. résidus 1 + résidus 2 avec résidus 1 = A/(z-z1), z1 un complexe et z = e^(it)
c cela?  

merci pour tout.

Est ce que tu es sur de tes calculs? je ne trouvais pas ca, mais j'ai pu me tromper.
Ensuite C est algébriquement clos (théorème de Gauss-D'alembert), notamment ton dénominateur se factorise, et de manière très simple.
Tu as juste à décomposer ta fraction en élément simple, et à intégrer chacun des morceaux.
Au pire tu n'as pas besoin de faire celà si tu as des pôles simples.
Je m'explique, si tu as 2 racines distinctes a et b alors

f(z)/(z-a)(z-b)=(f(z)/(z-a))/(z-b)
Ca peut simplifier les choses suivant le contour sur lequel tu intègres.

Bonne chance,
A+

Bonsoir,

Un outil d'intégration fournit l'expression en image jointe et donc la valeur de l'inétgrale cherchée par isi75 comme valant : pi/3

Otto, ou isi75, peux-tu avancer un peu sur la résolution pour tenter d'arriver à ce résultat ?

Merci

Philoux

Bonjour,

En posant,
on se ramène à l'integrale
où C est le cercle unité;
On remarque qu'il y a deux pôles simples (0 et 1/2) à l'intérieur du lacet C.
Or Re(f,0)=1/2 et Re(f,1/2)=-5/6.
On en conclut que que I=-2i*Pi *(1/2-5/6)/i=Pi/3

Dadou

Salut,
j'aimerai bien, je ne me rappelle plus de comment on fait pour intégrer une fonction rationnelle en cosinus ou en sinus.
Je sais juste que l'on fait le changement de variable que je préconise, et qu'on arrive à se ramener sur un contour, dont l'intérieur possède un, deux ou aucun des pôles de la fonction.

Notamment, ca te permet d'utiliser le théorème des résidus:
intégrale de f(z)dz suivant le lacet C = 2iPi somme des résidus de f sur les poles de f qui se trouvent à l'intérieur du lacet C.
(si on considère que le lacet est d'indice 1, sinon il faut aussi multiplier par l'indice du lacet C, mais ca n'a pas d'interet)

Ce théorème des résidus est probablement un corollaire du théorème de Gauss-Bonnet, du moins ils se ressemblent étrangement...

Pour éviter de faire un développement en élément simples, il est utile de considérer que si a différent de b,
f(z)/(z-a)(z-b) peut s'écrire
(f(z)/(z-a))/(z-b)
ou encore
(f(z)/(z-b))/(z-a)
Ca permet de calculer les résidus plus facilement ....
Notamment, si ma mémoire est bonne, les résidus vont respectivement être
f(b)/(b-a) et f(a)/(a-b)
ce qui, on le voit bien, va beaucoup plus vite que de passer par une décomposition en éléments simples...
J'espère ne pas avoir dit de c... ca fait trop longtemps que je n'ai pas touché à ca.
A+

Merci dadou, j'avais trouvé cette intégrale au facteur
1/(-iz) près
Où intervient il?
Amicalement,
Otto

>merci à tous les deux dadou et otto

Mais, sans chercher la valeur de l'intégrale, cette méthode permet-elle cependant la recherche de primitive ?

Philoux

Salut Philoux,
quelle méthode? Celle des résidus?
Je doute qu'elle soit utile pour trouver une primitive (note que contrairement à R, il est très dur d'avoir une primitive dans C pour une fonction donnée).

Notamment, le théorème des résidus te donne la valeur d'une intégrale sur un contour.

Salut Otto et philoux
Le terme 1/iz provient de
donc


Pour repondre à philoux, cette méthode ne donne que des valeurs
numériques (par définition des résidus).

Bonne soirée à tous les deux

Dadou

Ah la la, le fameux terme que l'on oublie une fois sur deux... Je me fais honte
Merci beaucoup.
Bonne soirée également.

Ok
Merci otto

Trois questions de béotien :

A) Pourquoi dadou n'a pas considéré z=2 dans son examen des pôles ( (z-2) au dénominateur) ?

B) peut-on avoir, avec cette méthode des poles qui ne soient pas réels ? qu'est-ce que ça change ?

C) comment, à partir de  Re(f,0)=1/2 et Re(f,1/2)=-5/6, dadou déduit-il que I=-2i*Pi *(1/2-5/6)/i=Pi/3 ?

Merci

Philoux

Re-,

A)Considère le cercle unité dans C=R², est ce que 2 se situe à l'intérieur? (tu verras que ca à de l'importance quand je répondrais à C))

B)Oui, d'ailleurs puisque tu te plonges dans C, ca risque d'arriver plus souvent que l'inverse (la probabilité que tu tires au hasard une fonction rationelle dont les pôles sont réels est en fait nulle)

C)Tu as le théorème que j'énonce, qui s'appelle le théorème des résidus, et qui te dis que si tu te donnes un contour fermé G, (contour = lacet = courbe qui se ferme, comme n'importe quelle forme géométrique, le cercle, le carré, le triangle etc...), et que tu intègres suivant ce contour G (tu es ingé, tu dois savoir ce qu'est l'intégrale suivant un contour? Sinon je le redéfinis mais c'est lourd à définir), alors
_Gf(z)dz=2i_iRes(f,zi)  
où zi sont les pôles de f qui sont situés à l'intérieur du contour G(zi est un pôle pour f si 1/f(zi)=0).
Si tu as un pôle qui n'est pas à "l'intérieur de la figure délimitée par G", alors il n'intervient pas dans ton calcul d'intégrale.

Le résidu maintenant, tu peux définir ça comme étant le terme qui apparait devant la puissance -1 dans le développement en série de Laurent de ta fonction.

Le développement en série de Laurent au voisinage d'une singularité isolée c'est un développement comme celui de taylor, sauf qu'il va aussi chercher les puissances négatives.

Par exemple sin(z)=z-z^3*3!+...
tu as alors sin(1/z)=1/z-1/(3!z^3)+...
Notamment le premier terme qui apparait ici dans les puissances négative est 1.
Sin(1/z) admet une singularité en 0 (sin(1/0) n'est pas défini) et elle est isolée puisque sin(1/z) est définie partout autour de 0.
Le résidu en 0 est donc 1.

Amicalement,
Otto

Ok, je crois comprendre.

A propos de la relation f(z)dz (sur G)=2ipiRes(f,zi), si tu le dit

Sur le dvlpt en série de Laurent : non vraiment pas, par contre.

Ca signifierait, dans le cas de poles complexes, que la somme est cependant toujours réelle ?
ou faut-il prendre que la partie reelle de ?

Philoux

Salut,
non non, la somme n'est pas toujours réelle, mais ca va bien sur être le cas si ta fonction est réelle (ce qui est le cas ici).

Tu n'as qu'à te donner une fonction complexe quelconque, tu as de fortes chances de voir apparaitre des coefficients complexes.

Notamment, prend une fonction ayant un seul pôle complexe mais pas imaginaire pur:
par exemple u=1+i

Prend une fonction réelle, par exemple z->1+z
Ta fonction f:=z->(1+z)/(z-u)
Ton résidu en u de f va être 2+u si je ne me trompe pas.
Notamment ton intégrale selon un contour qui contient 1+u, par exemple, suivant le cercle de centre 0 et de rayon 2, va valoir, d'après le théorème des résidus:
2Ipi(2+u) qui n'est pas réel.
Si maintenant je calcule l'intégrale suivant cercle unité, puisque u n'est pas dedans, l'intégrale va être nulle (en fait ca se déduit de la forme plus élémentaire du théorème des résidus, qui est le théorème de Cauchy)

A+

Ca a l'air super puissant cette méthode de calcul d'aire !

Je n'ai pas le recul suffisant pour envisager les restrictions à cet outil.

Est-ce qu'une majorité de fonctions le permettent ?
L'existence de poles dans le cercle unité est la seule contrainte ?

Est-ce que la connaissance pour introduire cette méthode est du même accabit que celle pour les sommes de Rieman ?
Pourquoi n'est-ce pas enseigné en pré-bac ?

Philoux

Tu n'as besoin d'avoir que des pôles, leur localisation n'est pas importante.

Ensuite, il faut voir que les complexes sont introduit en terminale, donc faire de l'analyse complexe en terminale serait très très osé.

Une autre raison est que l'analyse complexe est très intimement liée à l'analyse différentielle, et aux formes de Pfaff (1-forme linéaire).
Une 1-forme linéaire, c'est une fonction d'un ouvert U de E, ou E est espace vectoriel normé, et vers L(E,F) où F est un espace vectoriel normé et complet (espace de Banach).
C'est à dire que c'est une fonction qui à un vecteur associe une fonction.
Je pense que c'est très difficile d'introduire celà à des élèves de 16-17-18 ans.
Si tu veux faire ça de manière plus légère (parce que j'ai quand même été cherché loin pour pas grand chose), il faut voir que l'analyse complexe est un outil très très puissant, et qui permet de résoudre beaucoup beaucoup de problèmes que l'on se pose en analyse réelle.
Si jamais tu introduis cette notion sans jamais t'être pris la tête sur de l'analyse réelle, alors tu ne vas pas vraiment te poser de questions, et tu ne vas pas vraiment pouvoir envisager de faire de l'analyse complexe sérieusement (imagine que je te donne une calculette avant de t'apprendre à compter, c'est débile).
Un autre problème, le temps ne permet pas d'aborder celà, c'est un cours de fac à part entière qui prend un semestre pour arriver à de tels résultats et à de l'application concrète (par exemple du calcul d'intégrale).
Je pense que si tu veux introduire cette notion, il faut le faire en (3e année de) licence ou en maitrise. Je pense que c'est un domaine dans lequel il faut avoir des notions si tu veux faire des maths de haut niveau, et qu'il faut cependant se salire les mains dans de l'analyse réelle pendant au moins deux ans avant. La licence (L3) semble être un bon compromis pour l'introduire, notamment pour développer cet outil, il faut du travail théorique.

Amicalement.
Otto

>otto18:08

...Tu n'as besoin d'avoir que des pôles, leur localisation n'est pas importante...

Comment définit-on le contour (G) ?
Dans l'exemple précédent, c'est le changement de variable en z qui impose (G) à partir des bornes en x ?

...Je pense que si tu veux introduire cette notion...
Je ne veux rien introduire du tout
Simplement constater que ça semble "abordable" à des Tles mais que les prérequis, et tu l'as confirmé, semblent être plus lourds !

Philoux

Oui c'est bien le changement de variable qui te donne ce contour:

tu poses z=exp(it)
Si t varie entre 0 et 2Pi, tu vois bien que |z|=1 et que arg(z) prend toutes les valeurs entre 0 et 2pi, c'est donc un cercle de centre 0 et de rayon 1.

C'est éventuellement abordable sans ces prérecquis, mais c'est très laid.
J'ai un cours de Centrale sur ce sujet, et j'ai vraiment trouvé que c'était mauvais... Ce sont des trucs que l'on donne à gober aux élèves ingénieurs, et on leur dit pas pourquoi ca marche, ni comment ca marche, et même pas à quoi ca sert non plus...
C'est aussi une des raisons pour lesquelles on ne donne pas çà sans cours théorique dessus, si on peut éviter de faire ca de manière moche, on le fait.
Pour les terminales, ils ont déjà beaucoup de choses à gober avec l'analyse réelle, et l'algèbre et comme je t'ai dit, il faut vraiment se prendre la tête sur l'analyse réelle avant d'attaquer l'analyse complexe, qui simplifie tout...
A+

Ok

Merci pour ces explications et bonne soirée

Philoux

Merci, bonne soirée à toi aussi.
A+

Re-

Un dernier lien pour ceux que ça intéresse aussi.

En voulant en connaître davantage, Google m'a fournit ce pdf qui (me) semble (relativement) accessible :



Bonne soirée (cette fois-ci )

Philoux

Bonjour

d'abord merci à vous pour cette discussion (adorable?(ce n'est pas de l'ironie))
voir le résultat m'a donné envie de réessayé

---------facultatif-----------
pour info, je suis en licence.
cos(Théta)=(z²+1)/2z

cos(Théta)=cos(Théta)/[5-4cos(Théta)] = [(z²+1)/2z]/[5-((2z²+2)/z)]
= [(z²+1)/2z]/ [5z-((2z²+2)/z)] = (z²+1)/ [5z-2z²-2]

(2x-1)(x-2)=-5x+2z²+2  donc moi au dénominateur j'ai trouvé l'opposé parce que c'est 5z-(2z²+2) = 5z-2z²-2
ah remarque je viens de comprendre le -1/iz, moi j'aurai multiplié par 1/iz
---------fin de facultatif-----------

je viens de remarquer une erreur de calcul, le calcul de résidus avec 0.5²+1/(-1.5*0.5)= -5/3 et non -5/6

f(z)dz=2i*pi*Res(f,zi)  
ça je suis d'accord
donc j'ai -1/i *(...) = 2i.pi.(1/2-5/3)
je cherche à calculer l'intégrale donc intégrale = -2i².pi(1/2-5/3)=2*7/6=7/3

j'espère que vous pourrez confirmer.

Merci beaucoup

Le residu en 1/2 semble valoir -5/6 et non -5/3.
Ce qui devrait résoudre ton problème.

bonjour

non puisque je prend le résidus en 1/2
je le remplace dans (x²+1)/(x(x-2)) = -5/3 avec x=1/2
c'est 1.25/(-0.75)=-5/3

ou alors c pas ce raisonnement qu'il faut faire mais ça m'étonnerait un petit peu

merci

Salut,
ne sais tu pas calculer un résidu de fraction rationelle à pôle simple?

si u est un pôle simple pour f=p/q, alors Res(f,u)=p(u)/q'(u).
Ici ca marche bien.
Méthode à retenir et facilement démontrable (et fortement utile)
Bonne chance,
a+

oups...je croyais avoir compris mon cours après avoir passé un tps énorme, je crois que je vais y retourner.

un grand MERCI de votre aide à tous.

Peut etre que c'était pas dans ton cours.
En tout cas c'est utile, donc à connaître.
A+