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Théorème des segments emboîtés
Bonjour 
J'ai toujours un problème avec ce théorème, donc c'est le moment pour le comprendre 
On considère une suite de segments de
.
On suppose que cette suite est décroissante pour l'inclusion:
Si on note la longueur du segment
, on suppose que
.
Alors l'intersection des segments se réduit à un point:
CE que je comprends moi c'est ceci:
[ ----[----[---[--...{alpha}...--]---]----]-----]
donc l'intersection de tous les segments et le point alpha 
merci d'avance
Salut monrow,
Si moi aussi j'ai bien compris ce théorème, il s'agit effectivement de ca. C'est un peu comme lorsqu'on étudie la convergence d'une suite, en la minorant par une suite croissante, et en la majorant par une suite décroissante (bref en l'entourant de deux suites adjacentes). Et bien là, c'est un peu là même chose mais avec des segments.
PS / il ne me semble pas avoir vu pour le moment d'applications pratiques de ce théorème, cela viendra sûrement en Spé 
.
@+
Ben c'est ça le problème, c'est de voir un théorème sur le cours et de ne jamais l'appliquer
Il y a ce Bolzano-Weierstrass aussi (que je ne sais même pas prononcer 
)
De toute suite bornée de , on peut extraire une suite convergente
ben moi j'ai pris un exemple trop bête
la suite définie par qui est bornée entre -1 et 1.
on peut extraire deux suites par exemple: et
t'as un autre exemple
Salut monrow et puisea
Oui c'est bien cela. Pour te faire une idée, tu prends juste 2 segments In+1 et In avec In+1 inclus dans In
L'intersection des deux segments est donc In+1 ok ?
Donc si tu considères que (dn) tend vers 0 c'est que (In) tend vers un singleton.
Tu comprends un peu mieux ?
PS : pour l'application, pas vu en spé de mon coté :D
oui Romain c'est clair
PS : pour l'application, pas vu en spé de mon coté
:D Ben on doit demander à otto, peut-être qu'elle n'a pas d'application même en doctorat .... Mais quel théorème!!! Salut,
le théorème des valeurs intermédiaires un exemple d'application.
Il me semble que le méthode par dichotomie repose sur le thèorème des segments emboîtés.
--> 
Salut Romain et romu
Pour une application en Spé, on verra alors Mais effectivement, il me semble que mon prof avait touché deux trois mots pour utiliser ce théorème pour démontrer celui des valeurs intermédiaires.
monrow,
Pour ce qui est du théorème de Bolzano-Wieirstrass, il est beaucoup plus utilisé, particulièrement dans des démonstrations de théorèmes pour l'analyse : continuité par exemple.
Je te cherche un exemple
Voila, par exemple pour ce théorème :
Si on a une application f de [a,b] dans E qui est continue, alors cette application est bornée.
Démonstration :
Si f n'est pas bornée, alors
Par Bolzano-Wieirstrass (BW pour les fainéants), il exite une suite extraite
Par comparaison,
Par continuité de f,
=> Contradiction.
Voila
@+
il ne me semble pas avoir vu pour le moment d'applications pratiques de ce théorème, cela viendra sûrement en Spé
Tu as certainement du voir le théorème de Bolzano-Weierstrass, qui en découle.
Puisea > Le résultat fondamental de ton théorème est que f atteint ses bornes (ce qui se démontre aussi avec Bolzano-Weierstrass.)
Je pense que les démonstrations de ce genre sont plus expéditives avec la propriété de Heine-Borel qui est de toute façon plus générale.
Ce qui est intéressant de remarquer, c'est que ces propriétés sont à moitié vraies si on enlève la moitié des hypothèses:
Une fonction semi-continue supérieurement définir sur un segment (compact) est majorée et atteint son maximum.
On a bien entendu la propriété duale pour les fonctions semi-continues inférieurement.
pierre>> j'ai pas bien compris le passage de la première à la deuxième ligne
otto>> c'est fort tout ça, je ne comprends même pas un mot 
pour le passage de la première à la deuxième ligne:
à la première ligne tu définis une suite de
,
à la seconde ligne tu dis que d'après BW, il existe une sous-suite qui converge.
parce que c'est une suite de points de .
Donc tous les termes de cette suite sont (minorés) et
(majorés).
Bonjour à tous
Pour l'énoncé initial il est impératif de préciser que les intervalles In sont fermés. Sinon, c'est faux!
alors que toutes les autres hypothèses sont vérifiées.
Les segments sont les continus de R, c'est à dire les compacts connexes et donc les intervalles de la forme [a,b]
-oo<a<b<+oo
a+
Tiens! je ne savais pas qu'un segment est forcément fermé! Ca doit être une nouvelle mode!
Les segments sont les continus de R, c'est à dire les compacts connexes et donc les intervalles de la forme [a,b]
-oo<a<b<+oo
Vous voulez le tuer
:D c'est ça ?
PS : désolé en effet, on utilises par ci par là ce théorème. Maintenant que tu me le dis, c'est vrai qu'il peut servir, par exemple pour la démo du théorème des valeurs intermédiaires.
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