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Theoreme des séries alternées

Posté par
Leoninie 08-12-23 à 22:14

Bonsoir, j'avais une petite question sur les conditions d'application du théorèmes des series alternées.
Prenons l'exemple de ma série de terme général ln(1+((-1)^n/sqrt(n+1)))
A l'aide d'un dl à l'ordre 1, je trouve que ce terme général est pile le terme d'une série alternée. Peut on appliquer le theoreme à un équivalent et ainsi conclure quand à la convergence de la série ?

Merci d'avance et belle soirée

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Theoreme des séries alternées 09-12-23 à 01:44

Bonsoir

Non la règle d'équivalent ne marche pas en général pour une série dont le terme général n'est pas de signe constant à partir d'un certain rang.

Ici il faut effectuer un DL_2 au sens fort \Large\boxed{\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)},

ce qui donne \Large\boxed{\ln(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}})=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}-\frac{1}{n+1}+O(\frac{1}{n\sqrt n})} ... sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Theoreme des séries alternées 09-12-23 à 01:51

Une petite étourderie \Large\boxed{\ln(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}})=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\red{{2}}(n+1)}+O(\frac{1}{n\sqrt n})}.


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