Bonjour,

Par l'absurde, si la fonction f-g ne s'annule pas alors elle est de signe constant sur [0,1].
Quitte à prendre g-f, on peut supposer f-g strictement positive i.e. f>g.

Soit a un point fixe pour f (pourquoi un tel point existe-t-il ?), que dire de la suite donnée par : monotonie, convergence ?

Salut,

supposons que
alors , ce qui est absurde l'après l'hypothèse
donc il existe tel que donc

si on tient notre alpha
sinon on a une inégalité stricte

supposons que
comme précédemment on trouve un tel que
si on a égalité on tient notre alpha sinon on a inégalité stricte

La continuité et le TVI permet de conclure.

oh mon dieu
merci beaucoup pour votre aide, c trop gentil de votre part. Je vous en suis très reconnaissante

Pas de quoi

WunderBarbu: comment passes-tu de ton hypothèse à ?

grâce au fait que les fonctions sont définies de [0,1] dans [0,1]

C'est à dire ?

car

et vice versa

Mais la condition dit seulement et non .

Oui l'énormité de mon erreur m'a sauté aux yeux en éteignant l'ordinateur.

Pas de problème : )
Je voulais juste noter le soucis, de plus tu n'utilises pas la compacité alors qu'elle est nécessaire ici (l'énoncé serait faux sur ]0,1] par exemple.)

mais....

si on suppose que f(x)supérieur à g(x)
alors f((g(x))supérieur à g(g(x))  et g(f(x)) inférieur a g(g(x))
donc fog(x) supérieur a x   et gof(x) inférieur a x
donc gof(x) inferieur a fog(x)
alors qu ils sont egaux dapres l hpothese

On va montrer par l'absurde l'existence de ce alpha.

Supposons donc que f-g>0 (même démarche pour f-g<0)

1. On montre que g admet un point fixe en étudiant g(x)-x
g(0)-0=g(0) donc si g(0)=0 on a un point fixe en 0
                 sinon g(0)>0

g(1)-1 <= 0 donc si g(1)=1 on a un point fixe en 1
                 sinon g(1)-1<0

Par continuité de la fonction et d'après le TVI on a l'existence d'un point fixe x.

2. g(f(x))=f(g(x))=f(x)
donc f(x) est un point fixe de g et d'après notre hypothèse, f(x)>g(x) donc f(x)>x

de plus g(f²(x))=f(g(f(x))=f²(x) donc f²(x) est aussi un point fixe
on a f²(x)>g(f(x)) donc f²(x)>f(x)

on a donc une suite croissante majorée donc elle converge vers

Comme on est dans un compact ( ), cette limite appartient à [0,1]
on va donc avoir et ce qui est absurde

Ok cette fois : )
(C'est exactement ce qui était suggéré dans mon premier message finalement)

Exact, je n'avais pas vu le premier message , ça m'aura fait cherché comme ça.

mais je pense qu on peut resoudre cet exeercice sans poser de suite, car ca me rend un peu confuse a vrai dire.
Et en plus l 'exercice est donne dans le chapitre continuite et limites  qui est avant celui des suites

bonsoir tout le monde
svp est ce que vous pouvez m aider a resoudre cet exercice

Soient f et g deux fonctions définies sur [0;1] à valeurs dans [0;1]

avec f et g sont continues sur [0;1]

supposons que x[0;1]  fog(x) = gof(x)

-montrer que [0;1]  f()=g()

*** message déplacé ***

Bonsoir,

Waoh, on t'a donné un tel exo sans indication?

*** message déplacé ***