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Théorème double limite

Posté par
Ramanujan 26-07-17 à 15:17

Bonjour,

Montrer que la série \sum (-1)^n x^n ne converge pas uniformément sur l'intervalle borné [0,1[...

Je voulais utiliser le théorème de la double limite mais j'ai  un doute dans mon raisonnement car la suite un ne converge pas pour x=1:  (-1)^n :  la suite (-1)^n ne converge pas vers 0.

Théorème de la double limite :
- chaque suite un converge en a donc ici en 1
- La série des un converge uniformément

Ici je veux trouver une contradiction.

Alors : \lim\limits_{x \rightarrow a} \sum_{n=0}^{+\infty} u_n (x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \lim\limits_{x \rightarrow a} u_n (x)

Si on applique le théorème de la double limite ici : \lim\limits_{x \rightarrow 1} \sum_{n=0}^{+\infty} (-x)^n = \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{1}{1+x}=\frac{1}{2}

Mais ça devrait être égal à : \sum_{n=0}^{+\infty} \lim\limits_{x \rightarrow 1}  (-x)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n  

La série des (-1)^n diverge grossièrement donc il n'y a pas convergence uniforme

Posté par
Glapion Moderateurre : Théorème double limite 26-07-17 à 16:00

Je ne suis pas spécialiste, mais oui OK (moi j'appelais ça le Théorème d'interversion des limites ), donc tu as bien montré que la convergence n'était pas uniforme (car sinon les deux limites devraient être égales).
c'est assez bien expliqué ici :

Posté par
luzakre : Théorème double limite 26-07-17 à 18:27

Bonsoir !
Impossible d'utiliser la contradiction d'interversion des limites en 1 puisqu'on doit travailler sur [0,1[,\;1 n'est pas dans l'ensemble.

Si f(x)=\dfrac1{1+x} est la somme de la série, soit S_p(x)=\sum_{0\leqslant k\leqslant p}(-1)^kx^k.
On a S_{n-1}(x)=\dfrac{1-(-x)^n}{1+x} donc f(x)-S_{n-1}(x)=\dfrac{(-x)^n}{1+x} et il reste à montrer que f-S_{n-1} ne converge pas uniformément vers 0.

Posté par
WilliamM007re : Théorème double limite 26-07-17 à 19:23

luzak @ 26-07-2017 à 18:27

Bonsoir !
Impossible d'utiliser la contradiction d'interversion des limites en 1 puisqu'on doit travailler sur [0,1[,\;1 n'est pas dans l'ensemble.

Oui mais 1 appartient à la frontière de l'ensemble [0,1[. Le théorème est donc valide !

Posté par
Ramanujanre : Théorème double limite 26-07-17 à 22:31

WilliamM007 @ 26-07-2017 à 19:23

luzak @ 26-07-2017 à 18:27

Bonsoir !
Impossible d'utiliser la contradiction d'interversion des limites en 1 puisqu'on doit travailler sur [0,1[,\;1 n'est pas dans l'ensemble.

Oui mais 1 appartient à la frontière de l'ensemble [0,1[. Le théorème est donc valide !


Donc ce théorème c'est juste :
A: la série des un converge uniformément
B : égalité d'interversion des limites

Et on montre : Non B => Non A ?

Posté par
Ramanujanre : Théorème double limite 26-07-17 à 22:32

luzak @ 26-07-2017 à 18:27

Bonsoir !
Impossible d'utiliser la contradiction d'interversion des limites en 1 puisqu'on doit travailler sur [0,1[,\;1 n'est pas dans l'ensemble.

Si f(x)=\dfrac1{1+x} est la somme de la série, soit S_p(x)=\sum_{0\leqslant k\leqslant p}(-1)^kx^k.
On a S_{n-1}(x)=\dfrac{1-(-x)^n}{1+x} donc f(x)-S_{n-1}(x)=\dfrac{(-x)^n}{1+x} et il reste à montrer que f-S_{n-1} ne converge pas uniformément vers 0.


Pourquoi vous prenez S_{n-1} et pas Sn ? J'ai réussi avec cette méthode la norme infinie de Sn - S donne 1/2

Posté par
WilliamM007re : Théorème double limite 26-07-17 à 23:39

Citation :
Donc ce théorème c'est juste :
A: la série des un converge uniformément
B : égalité d'interversion des limites

Et on montre : Non B => Non A ?

Encore faut-il écrire proprement les hypothèses, mais oui.

Citation :
Pourquoi vous prenez S_{n-1} et pas Sn ?

Pour avoir une puissance n au lieu de (n+1). Mais ça revient exactement au même.

Posté par
luzakre : Théorème double limite 27-07-17 à 08:14

WilliamM007 @ 26-07-2017 à 19:23


Oui mais 1 appartient à la frontière de l'ensemble [0,1[. Le théorème est donc valide !

Bon mais ça c'est pour une suite de fonctions.
Dans le cas d'une série \sum u_n, si n\mapsto x_n est suite de limite 1, il faudrait montrer que n\mapsto\sum_{0\leqslant k\leqslant n}(-1)^k(x_n)^k n'a pas la limite \dfrac12 et, à mon avis, il ne suffit pas de constater que la série \sum(\lim_{n\to+\infty}(-1)^n(x_n)^n) est divergente.

Posté par
WilliamM007re : Théorème double limite 27-07-17 à 11:50

luzak @ 27-07-2017 à 08:14


Bon mais ça c'est pour une suite de fonctions.
Dans le cas d'une série \sum u_n, si n\mapsto x_n est suite de limite 1, il faudrait montrer que n\mapsto\sum_{0\leqslant k\leqslant n}(-1)^k(x_n)^k n'a pas la limite \dfrac12 et, à mon avis, il ne suffit pas de constater que la série \sum(\lim_{n\to+\infty}(-1)^n(x_n)^n) est divergente.

Sauf que ton exemple n'est pas une série de fonctions.

Posté par
luzakre : Théorème double limite 27-07-17 à 11:56

Ben si, j'ai pris u_n(x)=(-1)^nx^n et je calcule la somme partielle d'ordre n en x_n soit \sum_{0\leqslant k\leqslant n}u_k(x_n)=\sum_{0\leqslant k\leqslant n}(-1)^n(x_n)^n

Posté par
WilliamM007re : Théorème double limite 27-07-17 à 11:59

Je ne comprends pas bien. Tu voudrais appliquer le théorème de la double limite avec \sum_{0\leqslant k\leqslant n}u_k(x_n)=\sum_{0\leqslant k\leqslant n}(-1)^n(x_n)^n ?
Cette quantité n'est pas une série, encore moins une série de fonction. Je ne vois pas où tu veux en venir

Posté par
luzakre : Théorème double limite 28-07-17 à 08:08

Pour obtenir une contradiction on prend en général une suite n\mapsto x_n de limite 1 telle que que la suite n\mapsto f_n(x_n) ne converge pas vers la limite de f en 1.
Cette technique n'est pas facile à mettre en œuvre pour les séries de fonctions, ce que je voulais signaler.

Posté par
WilliamM007re : Théorème double limite 28-07-17 à 11:24

Ok. Mais on est d'accord qu'on peut bien utiliser le théorème de la double limite pour répondre la question de Ramanujan, quand même ?

Posté par
luzakre : Théorème double limite 28-07-17 à 14:00

Oui mais il faudrait dire explicitement que la somme partielle d'ordre n de la "série limite" n'a pas de limite (en tout cas pas la limite 1/2).


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