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Théorème du maximum
Bonsoir,
Soit un segment et
une application continue. Alors f est bornée sur I et atteint ses bornes.
Je suis dans la démo du théorème ci-dessus, je ne comprends tout sauf la dernière ligne.
J'ai vu comme théorème au préalable :
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Théorème présent 2 pages à la suite dans le livre :
L'image d'un segment par une fonction continue f est un segment
Donc je suis pas censé utiliser ce théorème dans la démo...
Soit et
Même raisonnement avec la borne inférieure et le minimum.
A la fin de la démo (elle utilise la caractérisation de la borne supérieure dans et les suites extraites) on arrive à :
Donc la fonction f est bornée et atteint ses bornes.
Pour moi on a juste montré que la borne supérieure appartient à un intervalle ! Si cet intervalle n'est pas borné, on a rien démontré.
Mais comment on sait que ne sera pas infini comme par exemple
? Comment être sûr que
est un segment ?
bonjour,
l'image d'un compact par une application continue est un compact
un intervalle fermé compact de R est borné
salut
encore une fois du charabia sans savoir qui sont a et b ...
et le fait d'utiliser la notation [a, b] d'un intervalle fermé présuppose que ...
Bonjour DOMOREA !
Je parie qu'il va te dire qu'il n'a pas encore étudié les compacts !
@Ramanujan
Bien sûr que tu dois montrer qu'une fonction continue sur un segment est bornée.
Au travail !
Une suggestion : raisonner par l'absurde et supposer que pour tout entier ,
prend une valeur supérieure à
.
Maintenant, si tu ne connais pas le théorème de Bolzano-Weierstrass, c'est mal parti !
Vous avez pas compris ma problématique 
Je n'ai pas du tout étudié les compacts. Donc on fait sans cet outil.
Par contre, j'ai étudié dans le chapitre précédent le théorème de Bolzano-Weierstrass.
De toute suite de réels bornée, on peut en extraire une sous suite convergente.
Démonstration :
Nous savons que l'image d'un intervalle par une application continue est un intervalle. Donc l'ensemble est un intervalle.
J est non vide car f est une application : . Tout partie non vide de
admet une borne supérieure dans
Posons :
D'après la caractérisation séquentielle de la borne supérieure, il existe une suite d'éléments de J qui converge vers
Mais comme alors
tel que :
La suite est bornée, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une sous suite convergence
qui converge vers un certain réel
.
Par ailleurs :
Alors forcément on a :
Par passage à la limite on en déduit que :
Mais comme f est continue sur :
Par unicité de la limite :
Donc :
Par ailleurs :
Donc :
Là est le point qui me bloque : comment en déduire que f est bornée ?
La borne supérieure appartient à mais en quoi on peut en conclure que f est bornée et qu'elle atteint ses bornes ?
bonjour,
l'image d'un compact par une application continue est un compact
un intervalle fermé compact de R est borné
J'étudie dans un livre de MPSI et on a pas vu les compacts à ce stade.
Ah oui merci Lionel c'était aussi simple que ça 
En effet, est à valeurs dans
donc la borne supérieure est un réel, ce qui veut dire que la fonction f est majorée dans
C'est quoi l'intérêt de montrer que :
alors ?
Mon livre serait-il mal fait ? Car on sait rien sur l'image d'un segment par une fonction continue avant ce théorème.
Ce point est abordé que 2 pages après.
Ok moi j'avais noté :
Je vois pas le problème la borne supérieure est un réel, le plus petit des majorants.
est un réel car f est à valeurs réelles.
Désolé !
Sur la partie copier-coller on lisait : moralité écrire en LaTeX et éviter la lettre "l" (ell minuscule) qui se confond avec "I" (i majuscule).
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