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Théorème du point fixe

Posté par
Saturo
11-02-24 à 16:51

Bonsoir,
J'ai un exercice de Maths et y'a certaines questions qui me pose problème et j'aimerai un peu d'aide
Théorème du point fixe
Soit a < b deux réels et I = [a,b]. On se donne g : I —> R une fonction telle que :
*   Quelque soit x appartenant à I , g(x) appartient à I ;
*   Il existe un réel k appartenant à [ 0 ; 1 [ et quelques soit (x,y) appartenant à I^2 on a : | g(x) - g(y) | <= k | x - y |
1. Justifier que g est continue.
2.  Montrer que l'équation g(x) = x possède une solution dans l'intervalle [a,b], puis
que celle-ci est unique.
Nous la noterons m .
3. Soit n qui appartient à [a, b] et (xn)n Ia suite réelle définie par xo = u et quelques soit n appartenant a N, x(n+1) = g(xn)
4. Montrer que pour tout n appartenant à N, |xn - m | <= (k^n ) |u-ml
En déduire la limite de la suite (xn)n
5. Établir que pour tout n, p appartenant à N : |x(n+p) - x(n) | <= ((1 k^n) /( 1 - k ))|x(n+1) - x(n) |
6. En déduire que pour tout n appartenant à N :
|x(n) - m | <= ((k^n)/(1-k))|x(1) - x(0)|

J'ai réussi à seulement faire les questions 3 et 4 mais je bloque sur le reste

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Théorème du point fixe 11-02-24 à 16:57

Bonjour,
L'énoncé de la question 3) est incomplet.
On ne sait pas ce qui est demandé.
C'est "Soit u qui appartient" ?

Posté par
carpediem
re : Théorème du point fixe 11-02-24 à 16:58

salut

1/ est immédiate quelle que soit la valeur du réel k (strictement) positif d'ailleurs : il suffit de faite tendre y vers x ...

2/ appliquer le TVI à h : x --> g(x) - x sur l'intervalle [a, b]

5/ x_{n + p} - x_n = x_{n + p} - x_{n + p - 1} + x_{n + p - 1} - x_{n + p - 2} + ... + x_{n + 1} - x_n

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Théorème du point fixe 11-02-24 à 16:59

Pour démontrer que g est continue en a avec a dans I :
Utiliser |g(x) - g(a)| k|x-a|.
Puis faire tendre x vers a.

Posté par
Saturo
re : Théorème du point fixe 11-02-24 à 17:28

Bonsoir,

Oui Sylvieg vous avais raison c'est u qui appartient à l'intervalle [ a ; b ]

Merci pour vos indications je pense que j'ai compris.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Théorème du point fixe 11-02-24 à 17:57

Citation :
Oui Sylvieg vous avez raison c'est u qui appartient à l'intervalle [ a ; b ]


N'hésite pas à revenir si besoin.

Posté par
Saturo
re : Théorème du point fixe 11-02-24 à 19:04

Bonsoir,

j'avais commis une erreur sur la question 5 c'est plus plutôt "Établir que pour tout n, p appartenant à N : |x(n+p) - x(n) | <= ((1 -k^p) /( 1 - k ))|x(n+1) - x(n) |  "

Avec l'expression de carpediem je dois utiliser l'inégalité triangulaire ou bien ?

Posté par
carpediem
re : Théorème du point fixe 11-02-24 à 19:49

ben qu'en penses-tu si tu mets de valeurs absolues autour ?



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