Bonjour,

X est complet non ?

Oui car on a un espace métrique compact.

L'hypothèse est " (x,y) X²tq x y  on a : d(f(x),f(y)) < d(x,y) " .

Montre que f : x d(f(x),x) est continue de X vers et considère { x X | f(x) = Inf(f) } (qui est non vide puisque X est supposé compact).

le problème c'est pas que ce soit strictement inférieur ou pas c'est que ta constante k est en réalité un k(x,y) et qui ne doit pas en dépendre

Merci de vos indications, mais j'ai déjà la correction de l'exercice.
Mais en fait, je voulais juste savoir si dans ce cas (cas de l'exercice) il y avait un point fixe unique car on avait le signe "" et pas "" et donc qu'on ne se trouvait pas dans le cas du théorème du point fixe.
Merci beaucoup !

J'ai pas compris :s
Désolé.
Du coup, si vous me dites que le problème n'est pas le signe, dans ce cas le théorème du point fixe s'applique mais comme la constante k=1, il n'y a pas d'unique point fixe !
Je suis perdu !

ce que je dis c'est que dans ton cas c'est un strictement inférieur donc ce n'est pas ça le problème

vois tu pourquoi on ne peut pas appliquer directement le point fixe de picard?

non je ne vois pas

tu peux nous donner le théorème de Picard que tu as dans ton cours?

Soit un espace métrique complet. Si l'application est une application contractante :
,
alors elle admet un unique point fixe
de plus toute suite récurrente donnée par et converge géométriquement vers

bon alors dans ton théorème c'est inférieur ou égal à un k strictement inférieur à 1. Et dans l'exo c'est strictement inférieur à un k inférieur ou égal à 1 (en fait égal à 1 dans ton exo). C'est la même chose non?

Je dirais que oui.

donc pourquoi on ne peut pas utiliser directement le théorème?

ce qui ne colle pas c'est que le théorème demande une propriété uniforme.

le théorème c'est il existe un k tel que pour tout x,y.....

dans l'exo c'est pour chaque x et y on a l'inégalité stricte. autrement dit, pour tout x,y il existe un k<1 dépendant donc de ces derniers tel que...

tu piges?

mais par contre en contre partie on a une hypothèse plus forte dans l'exo que dans le théorème (ba oui faut bien équilibrer^^) c'est la compacité

dis comme ça, oui je "pige" mais en ayant simplement les énoncés du théorème et de l'exercice pour moi c'est la même, la nuance des quantificateurs n'apparait pas clairement de mon point de vue.

et bien dans l'exo au lieu de dire pour tout x, y il existe k strictement inférieur à 1 tel que on ai "blabla" inférieur ou égal à "blabla" il est dit pour tout x, y on a "blabla "strictement inférieur à "blabla"

d'où le post: "bon alors dans ton théorème c'est inférieur ou égal à un k strictement inférieur à 1. Et dans l'exo c'est strictement inférieur à un k inférieur ou égal à 1 (en fait égal à 1 dans ton exo). C'est la même chose non?"

je ne vois pas le rapport entre vos 2 phrases
je disais juste que pour moi ce n'est pas flagrant que "pour tout x, y il existe k strictement inférieur à 1 tel que on ai ... inférieur ou égal à ..." c'est la même chose que "pour tout x, y on a ... strictement inférieur à ..." mais que le théorème dit autre chose

d'accord c'est pas flagrant mais tu as compris  ?

dans le sens où je sais que pour "tout x,y ... il existe k" est différent de "il existe k tel que pour tout x y ..." oui j'ai compris.
Mais je ne vois pas comment on voit la traduction des énoncés du théorème et de l'exercice se fait ainsi.

ça c'est parce que ton l'énoncé théorème est pas super propre, je le recopie:

Soit un espace métrique complet. Si l'application est une application contractante :
,
alors elle admet un unique point fixe
de plus toute suite récurrente donnée par et converge géométriquement vers


et dans l'exo c'est

On se donne une application telle que

qui est équivalent à

On se donne une application telle que

c'est bon ou j'ai pas compris ce que tu n'as pas compris?

Ok pour l'énoncé du théorème, c'est plus clair ainsi.
Mais pour celui de l'exercice, comment savez-vous dans quel ordre mettre les quantificateurs quand rien n'est précisé ?
Désolé d'insister.

et bien tu as je suis d'accord que c'est uniforme sur le fait que ce soit strictement inférieur

le truc à comprendre c'est qu'il peuvent être plus ou moins inférieur à chaque fois



si tu comprends pas je détaille plus

je n'ai pas compris, désolé
comment savoir où doit on placer le "il existe k" : avant ou après le "pour tout x, y"
je ne le vois pas en regardant simplement :
je ne sais pas si c'est là où vous vouliez en venir
désolé

sois pas désolé lol moi aussi je suis en licence et c'est pas facile à comprendre non plus

lis ce qu'il y a en bas seulement si tu comprend pas ça parce que quand c'est trop détaillé ça embrouille plus qu'autre chose

alors on a  

donc je sais que j'aurais toujours mais je ne sais pas si ce sera toujours autant inférieur, au sens où si ce sera toujours inférieur à la même constante k<1 fois d(x,y)





je détaille un peu plus:


soit donc un x0 et un y0 dans X. d'après l'exo on a c'est à dire on a

maintenant prenons un x1 et un y1 dans X. On ne peut pas dire que . Par contre on a toujours c'est à dire on a

mais dans le théorème on veut un même k pour tous et la propriété de l'exo nous donne un k pour chaque

voilà je pourrai pas être plus pédagogue si tu comprend toujours pas c'est MOI qui suis désolé de pas pouvoir mieux t'expliquer

Vous dites qu'on ne sait pas si ce sera toujours autant inférieur.
Et après vous affirmez qu'on ne peut pas dire .
C'est un peu contradictoire non ? Si on est supposé ne pas savoir si les constantes seront les mêmes d'un couple (x,y) à l'autre.

non

en prenant un autre couple x1 y1 on ne peut pas avoir l'inégalité avec la même constante que celle pour x0 et y0, à savoir k0

ok.
Merci !
Bonne soirée.

Bonjour

Pour ne pas laisser de doutes... Voici un contrexemple. est bien complet. On prend . Il est vrai que . De plus, si , on a .

Et pourtant, n'a pas de point fixe dans ...

Ici, l'exo marche parce que est compact. Le théorème habituel sur un complet, demande bien l'existence de tel que et que pour tout . Le même pour tous les .

pour tout  x  différent de  y  certes.  

Est-ce qu'il existe des variantes de ces théorèmes classiques ? (pour savoir) ? Merci.

Salut lolo

Il y a foultitude de théorèmes du point fixe... Rien que ce que donne wiki sur ce sujet à l'air d'un annuaire téléphonique! mais je ne pense pas que la plupart soient des généralisations de ceux dont il est question ici.

bon merci .