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Théorème du rang
Bonsoir, cela fait un bon moment que je suis bloqué sur la question suivante et c'est très frustrant : Soient ϕ : U → V , ψ : V → W des applications linéaires entre EV
de dimension finie. Montrer que Im(ψ ◦ ϕ) ⊂ Im(ψ) et que ker(ϕ) ⊂ ker(ψ ◦ ϕ), en déduire que rang(ψ ◦ ϕ) min(rang(ψ),rang(ϕ)). Ce que j'ai réussi à faire.
Maintenant, la partie où je sèche :
Supposons U = V = W (ie ϕ, ψ sont des endomorphismes de V ). Montrer que rang(ψ ◦ ϕ) rang(ψ) + rang(ϕ) − dim(V ).
J'ai 3 équations et 3 inégalités à disposition mais je pense qu'il manque quelque chose :
dim V = dim ker(ψ ◦ ϕ) + rang(ψ ◦ ϕ)
dim V = dim ker(ψ) + rang (ψ)
dim V = dim ker(ϕ) + rang (ϕ)
rang(ψ ◦ ϕ) rang(ψ)
rang(ψ ◦ ϕ) rang(ϕ)
dim ker(ϕ) dim ker(ψ ◦ ϕ)
J'en arrive à prouver que rang(ψ ◦ ϕ) - rang(ϕ) + dim ker(ψ) 0, ce qui mène nulle part.
Bonjour,
on peut écrire Im(ψ ◦ ϕ)=ψ (ϕ(V))=dim (ϕ(V))-dim Ker(ψ (ϕ(V)))
mais on sait que ker(ϕ) ⊂ ker(ψ ◦ ϕ)
donc rang(ψ ◦ ϕ) 
rang(ϕ)-dim Ker(ψ )
dim V = dim ker(ψ) + rang (ψ) => dim ker(ψ) =rang (ψ) -dim V
si vous remplacez rang(ψ ◦ ϕ) - rang(ϕ)+rang (ψ) -dim V 0
Je te propose une autre démonstration, en trois points
1) l'inégalité à démontrer peut se reformuler comme dim ker(φ) ≥ rg(ψ) - rg(φ ∘ ψ)
2) Soit f l'endomorphisme induit par φ sur Im(ψ), c'est-à-dire
Quel est le noyau de f ? En déduire que ker(f)⊆ ker(φ) et une majoration de dim ker(f)
3) Appliquer le théorème du rang à l'endomorphisme f de F = Im(ψ)
En déduire une minoration de dim ker(f)
Erratum : f n'est pas un endomorphisme pardon, mais on s'en fiche le théorème du rang s'applique quand même
Bonjour
on peut écrire Im(ψ ◦ ϕ)=ψ (ϕ(V))=dim (ϕ(V))-dim Ker(ψ (ϕ(V)))
mais on sait que ker(ϕ) ⊂ ker(ψ ◦ ϕ)
donc rang(ψ ◦ ϕ)
rang(ϕ)-dim Ker(ψ )
dim V = dim ker(ψ) + rang (ψ) => dim ker(ψ) =rang (ψ) -dim V
si vous remplacez rang(ψ ◦ ϕ) - rang(ϕ)+rang (ψ) -dim V
0Votre démonstration m'a l'air simple, je vais la lire attentivement
Ulmiere j'ai fait quelque chose de similaire à votre raisonnement : j'ai considéré l'application f allant de ker(ψ ◦ ϕ) à V définie par f(x) = ϕ(x), avec le théorème du rang j'ai dim(ker(ψ ◦ ϕ)) = dim ker f + dim im f.
Ensuite je montre que Im f ⊂ ker (ψ) et ker f ⊂ ker(ϕ) ce qui donne au final avec le théorème du rang que dim ker(ψ ◦ ϕ) <= dim ker (ψ) + dim ker(ϕ) ce qui était l'inégalité à prouver (écrite différemment)
Ca fonctionne, oui.
La correction de mon truc, histoire de :
1) théorème du rang sur φ et φ∘ψ
2) ker(f) = im(ψ)∩ker(φ) ⊆ ker(φ)
Par conséquent, dim ker(f) ≤ dim ker(φ).
3) le théorème du rang dit que dim ker(f) = rg(ψ) - rg(f).
Or, im(f) ⊆ im(φ∘ψ), donc rg(f) ≤ rg(φ∘ψ).
Et donc dim ker(f) ≥ rg(ψ) - rg(φ∘ψ)
On a donc un encadrement n-rg(φ) = dim ker(φ) ≥ dim ker(f) ≥ rg(ψ) - rg(φ∘ψ). Ce qu'il fallait démontrer.
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