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Théorème fondamental d'intégration et fonctions CM
Bonjour,
j'ai un peu de mal à appliquer le théorème fondamental d'intégration(TFI) pour les fonctions continues par morceaux.
En fait je dispose d'une fonction f continue et dérivable sur un intervalle I et dont la dérivée est continue par morceaux sur I, a
I.
Je voudrais montrer que f(x)=f(a)+
axf'(t)dt.
Le TFI nous dis que si g est une fonction continue par morceaux sur I et aI, alors:
la fonction G:x
axg(t)dt est de classe C1 par morceaux et continue sur I et, en tout point où g est continue, on a: G'(t)=g(t).
Mais comme f' n'est pas forcément continue sur [a,x] on ne peut pas dire que axf'(t)dt est une primitive de f', ce qui aurait permis de faire le lien avec une autre primitive de f', en l'occurrence f.
J'ai donc essayé de me ramener à des intervalles où f' est continue (ceux de la subdivision de I qui traduirait la définition de "f' est continue par morceaux sur I") mais je me trouve dans une impasse.
Pourriez-vous m'aider s'il vous plait?
Merci.
salut
par hypothèse les points de discontinuité de f' sont finis ... ou au plus dénombrable ....
considère une suite de ces points et intègre f' sur les intervalles formés par ces points ....
Ca y est je pense avoir trouvé en utilisant une suite comme tu me l'as conseillé:
Soit xI=[a,+
].
Soit (t(n)) la suite croissante des points de discontinuité de f sur [a,x].
On envisage la situation extrême où a et x sont des points de discontinuité de f'.
axf'(t)dt = 
k=0n-1 ( t(k)s(k)f'(t)dt + s(k)t(k+1)f'(t)dt ) , avec (
k[0,n-1]): s(k)=[t(k+1)-t(k)]/2
=k=0n-1 ( lim ( Xs(k)f'(t)dt ) + lim ( s(k)Xf'(t)dt ) )
X
t(k) Xt(k+1)
=k=0n-1 ( lim ( f(s(k))-f(X) ) + lim ( f(X)-f(s(k)) ) ) d'après le TFI
Xt(k) Xt(k+1)
=k=0n-1 ( f(s(k))-f(t(k)) + f(t(k+1))-f(s(k)) ) car f est continue sur I
=k=0n-1 ( f(t(k+1) - f(t(k)) )
=f(x)-f(a)
Il y a peut-être plus rapide mais j'aimerais avoir la confirmation que ce que j'ai fait est juste.
les points de discontinuité ont lieu pour f' et pas pour f puisque f est continue ...
par contre pour intégrer f' les bornes doivent être les limites à gauche et à droite de f' ...
pourquoi prendre la demi-somme ? .....
tout simplement calcule f'(t)dt
l'intégrale allant de t(n) à t(n+1) et la somme de k = 0 à n-1 ....
-oups effectivement j'ai oublié de mettre le "'", je voulais bien parler de f'.
-Pour les limites droites et gauches de f',tu veux dire que j'aurais du écrire ceci:
k=0n-1 ( lim ( f(s(k))-f(X) ) + lim ( f(X)-f(s(k)) ) ) ?
Xt(k)+ Xt(k+1)-
-J'ai utilisé la demi-somme en voulant être plus rigoureux, je voulais qu'une des bornes de l'intégrale soit un point de continuité de f' pour pouvoir ensuite utilisé le théorème de mon cours qui dit:
si f est intégrable sur I=[a,+[, alors If = lim ( axf )
x+
au lieu d'utiliser une double limite.
tu intégres une fonction f' continue par morceaux donc continue sur des intervalles ]tn, tn+1[ et admettant une limite à droite et à gauche
l'intégrale vaut donc f(tn+1-) - f(tn+ ...
D'accord mais je n'ai aucun théorème dans mon cours qui dit que si f est continue sur [a,b], f' est continue sur ]a,b[ (intervalle ouvert) et intégrable sur ]a,b[ alors abf'(t)dt = f(b)-f(a) , même si je sais que c'est vrai à partir du moment où f' est prolongeable par continuité aux bornes de ]a,b[.
je ne sais pas ce que tu me racontes ...
THE : si f est continue sur [a,b] alors F(x) = F(a) + ax f(t)dt est une primitive de f (où F(A) est une constante d'ntégration .....que je note F(a) puisque c'est ce qu'elle vaut) ....)
maintenant si f est continue sur ]a,b[ l'important c'est que f est une limite à droite en a et à gauche en b (je ne traite que du cas a,b fini
c'est la même chose ici avec f et f' au lieu de F et f ......
Oui, c'est exactement ce que j'ai expliqué sur mon dernier post non?
Mais comme ce théorème n'apparait nulle part dans mon cours (sauf celui concernant les intervalles compacts que tu viens de rappeler) j'ai préféré le démontré en détail dans mon exercice pour que ce soit bien clair dans ma tête. 
supposons qu'il n'y ait qu'un point de discontinuité et on intègre sur ]a,b[ 
]b,c[
supposons qu'on intègre de a à x avec x > b
f'(t)dt = ab f'(t)dt + bx f'(t)dt = f(b- ) - f(a+) + f(x) - f(b+) = ....
D'accord mais quel théorème utilises-tu pour calculer tes deux intégrales sur un intervalle semi-ouvert?
Tu as bien sauté l'étape dans laquelle on intègre d'abord f' sur un intervalle compact [a,x] avant de passer à la limite "xb-" (si b est le point de discontinuité), non?
Je suis désolé mais je ne vois pas très bien où tu veux en venir.
C'est justement parce que f' n'est pas continue en b que cela me gênait d'écrire directement: f(b-)-f(a) = abf'(t)dt.
oui mais f l'est donc donc la limite de en b à gauche existe ...
si f(a) existe alors le membre de gauche existe et est fini .... il en est de même du membre de droite ....
maintenant est-ce que cela fait effectivement f(x) - f(a) ....
intègre la dérivée de x --> |x| sur [-1, 1] ....
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