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Théorème Jordan-Dirichlet - Séries de Fourier

Posté par
martizic
03-01-24 à 12:52

Bonjour,

J'ai une question à propos du théorème de Jordan-Dirichlet, permettant de trouver la convergence d'une série de Fourier.

Voici mon énoncé :  
Calculer la série de Fourier trigonométrique de la fonction 2π-périodique f : R-> R telle que f(x) = x2 lorsque x ∈ [0, 2π[.
La série converge-t-elle vers f?

J'ai trouvé que SF_{f(x)} = \frac{4\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{+\infty }{(\frac{4cos(nx)}{n^2}}-\frac{4\pi sin(nx)}{n})

Maintenant, pour utiliser le théorème de Jordan-Dirichlet, j'ai démontré que f est 2π-périodique C1 par morceaux, donc cela signifie que SFf(x) converge simplement vers \frac{f(x^{+}) + f(x^-)}{2}.

Or, comment déterminer cette valeur?

Dans la correction de mon professeur, je trouves que :
SF_{f(x)} \: converge \: simplement \: vers \: \begin{cases} x^2 & \text{ si } x \: \epsilon \: ]0+2k\pi \: ; 2\pi + 2k\pi[ \\ \frac{x^2}{2}& \text{ si } x = 2k\pi \end{cases}

Je ne comprends pas comment on détermines ces deux cas...

Merci de votre aide!

Posté par
phyelec78
re : Théorème Jordan-Dirichlet - Séries de Fourier 03-01-24 à 22:57

bonjour,
en fait,il faut appliquer le théorème de Dirichlet :
La fonction f est 2-périodique, continue sur R et de classe C1 par morceaux sur ]0, 2.D 'après le théorème de DIRICHLET, la série de FOURIER de f converge simplement vers f  donc  vaut x2 si x ]0+2k,2+2k[ et converge simplement vers limite \dfrac{f(x^-)+f(x^+)}2 x=0+2k et x=2+2k, ce qui revient à regarder x=2k où la fonction est discontinue.

(j'ai pris k=0)
\lim _{x -> 0^+} f(x) =x^2 = f(0^+)
\lim _{x -> 0^-} f(x) =0=f(0^-)

on donc convergence vers x2/2 pour x=2k

Posté par
larrech
re : Théorème Jordan-Dirichlet - Séries de Fourier 03-01-24 à 23:23

Bonsoir,

Je vais encore jouer les trouble-fêtes, mais il y a un truc qui me paraît bizarre.

Quand x \in} ]0+2k \pi , 2\pi+2k \pi[ , j'aurais dit que SF(f(x))   converge vers (x-2k \pi)^2

Pour k=0 on retrouve bien x^2.

???

Posté par
phyelec78
re : Théorème Jordan-Dirichlet - Séries de Fourier 04-01-24 à 11:11

@larreck. J'ai pris k=0 car je pensais que s'était plus simple pour expliquer à l'étudiant. Par contre , dans l'intervalle  ]0+2k,2+2k[ , SF(f(x)) converge simplement vers f(x)=x2 (selon le théorème de DIRICHLET)
Cordialement



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