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Théorème sur les séries commutativement convergentes

Posté par
EvDavid 16-05-17 à 17:03

Bonsoir,

Je trouve une difficulté dans la compréhension d'un théorème sur les séries numériques commutativement convergentes .

Voici l'énoncé du théorème : Si une série numériques ( plus généralement à valeurs dans un espace de Banach ) \sum{Un} est absolument convergente alors elle est commutativement convergente . Et pour toute permutation de on a : \sum_{n=0}^{+\infty }{U_{\varphi (n)}}=\sum_{n=0}^{+\infty }{U_{n}}

Pour la démonstration : Soit une permutation de , on a : n : \sum_{k=0}^{n}{\left|U_{\varphi (k)} \right|}\leq \sum_{n=0}^{+\infty }{\left|U_{n} \right|}
donc \sum{}{U_{\varphi (n)} } est absolument convergente donc elle est convergente. ( J'ai compris cette étape ,puisque   \sum_{n=0}^{+\infty }{\left|U_{n} \right|} est  \sum_{k=0}^{n}{\left|U_{\varphi (k)} \right|} auquelle on a ajouté plusieurs termes positifs )
Pour l'égalité des sommes des deux séries :
Soit >0 , et soit N tel que \sum_{n=N+1}^{+\infty }{\left|U_{n} \right|}\prec \varepsilon
Comme est une permutation de alors il existe N' tel que : {0,1,....,N} { (0),(1),...,(N') }  ( j'ai compris cette étape là aussi , l'existence de N pour tout vient de la définition de limite appliquée à la série de terme général |Un| qui est convergente (puisque on travaille sous l'hypothèse de l'absolue convergence ) , et l'existence de N' est clair, puisque est une bijection elle balaye tout , et donc on trouvera bien un entier naturel pour lequel la condition est vérifiée ( on peut prendre par exemple N'=max({i tel que (i){0,1,...,N}) , et ce max existe car c'est une partie finie de , car il y'a N élément dans cet ensemble ( car bijection ) , et non vide car -1(0) y appartient )
On en déduit que :
\left|\sum_{n=0}^{+\infty }{U_{n}-\sum_{n=0}^{+\infty }{U_{\varphi (n)}} \right|
\leq \left|\sum_{n=0}^{+\infty }{U_{n}}-\sum_{n=0}^{N}{U_{n}} \right|+\left|\sum_{n=0}^{N}{U_{n}}-\sum_{n=0}^{N'}{U_{\varphi (n)}} \right|+ \left|\sum_{n=0}^{N' }{U_{\varphi (n)}}-\sum_{n=0}^{+\infty }{U_{\varphi (n)}} \right|\leq \sum_{n=N+1}^{+\infty }{\left|U_{n} \right|}+\sum_{n=N+1}^{+\infty }{\left|U_{n} \right|}+\sum_{n=N'+1}^{+\infty }{\left|U_{\varphi(n)} \right|}
( Dans ce passage je ne comprend pas comment on a eu le deuxième terme (celui d'au milieu ) )
\leq 3\sum_{n=N+1}^{+\infty }{\left|U_{n} \right|}
( Et dans ce passage je ne comprend pas comment on a l'inégalité entre le troisième terme et \sum_{n=N+1}^{+\infty }{\left|U_{n} \right|} )

J'espère que quelqu'un pourra m'aider à comprendre cette démonstration .

Merci d'avance ^^

Posté par
verdurinre : Théorème sur les séries commutativement convergentes 16-05-17 à 17:43

Bonsoir,

\sum_{n=0}^{+\infty }{U_{n}-\sum_{n=0}^{+\infty }{U_{\varphi (n)}} =\sum_{n=0}^{+\infty }{U_{n}}-\sum_{n=0}^{N}{U_{n}} +\sum_{n=0}^{N}{U_{n}}-\sum_{n=0}^{N'}{U_{\varphi (n)}} + \sum_{n=0}^{N' }{U_{\varphi (n)}}-\sum_{n=0}^{+\infty }{U_{\varphi (n)}}

Posté par
EvDavidre : Théorème sur les séries commutativement convergentes 16-05-17 à 19:06

Bonsoir ,

Merci pour votre reponse. Je pense que j-etais peu précis car j'avais compris cela, je demande plutot comment \left|\sum_{n=0}^{N}{U_{n}}-\sum_{n=0}^{N'}{U_{\varphi(n)}} \right| est \leq \sum_{n=N+1}^{+\infty }{U_{n}} et aussi comment \sum_{n=N'+1}^{+\infty }{U_{\varphi(n)}} \leq \sum_{n=N+1}^{N +\infty }{U_{n}}

Posté par
verdurinre : Théorème sur les séries commutativement convergentes 16-05-17 à 19:50

Il n'est pas interdit de penser que j'ai mal lu ta question.
Merci pour ta gentillesse.
Pour répondre un peu vite :
on a déterminé N' de telle sorte que ces propriétés soient vraies.

Ceci étant dit il faut que j'y aille.
Je repasse dans une heure ou deux.

Posté par
verdurinre : Théorème sur les séries commutativement convergentes 16-05-17 à 21:51

Pour préciser.

D'après la définition de N' on a

\sum_{n=0}^{N'}\lvert U_{\varphi(n)}\rvert\le\sum_{n=0}^\infty \lvert U_n\rvert car on a supprimé des termes positifs dans la seconde somme pour obtenir la première,

et

\sum_{n=0}^N \lvert U_n\rvert\le\sum_{n=0}^{N'}\lvert U_{\varphi(n)}\rvert pour la même raison.

Posté par
EvDavidre : Théorème sur les séries commutativement convergentes 16-05-17 à 22:23

Bonsoir ,

Merci encore pour vos réponses et le temps que je vous fait perdre. Je suis bien d'accord avec vous, mais dans la démonstration , l'indice de sommation commence ( pour les sommes du terme à droite des inegalites ) de N+1 et non pas de 0 . Le tout dans le but d'arriver à une 3 et de conclure ainsi sur l'egalite.

Merci d'avance ^^

Posté par
verdurinre : Théorème sur les séries commutativement convergentes 16-05-17 à 22:45

Pour
\left|\sum_{n=0}^{N}{U_{n}}-\sum_{n=0}^{N'}{U_{\varphi(n)}} \right| \leq \sum_{n=N+1}^{+\infty }{U_{n}}

On a

\sum_{n=0}^{N'}\lvert U_{\varphi(n)}\rvert \le \sum_{n=0}^\infty \lvert U_n\rvert

En enlevant \sum_{n=0}^N \lvert U_n\rvert de chaque coté de l'inégalité il vient

\sum_{n=0}^{N'}\lvert U_{\varphi(n)}\rvert-\sum_{n=0}^N \lvert U_n\rvert \le \sum_{n=0}^\infty \lvert U_n\rvert-\sum_{n=0}^N \lvert U_n\rvert

Comme \sum_{n=0}^N \lvert U_n\rvert\le\sum_{n=0}^{N'}\lvert U_{\varphi(n)}\rvert et \sum_{n=0}^\infty \lvert U_n\rvert-\sum_{n=0}^N \lvert U_n\rvert=\sum_{n=N+1}^\infty\lvert U_n\rvert on a bien le résultat attendu.

Ensuite

\sum_{n=N'+1}^{+\infty }{U_{\varphi(n)}} \leq \sum_{n=N+1}^ \infty {U_{n}} car, par définition de N', tous les termes de la première somme sont dans la seconde.

Quand à l'objectif, c'est gentil de me le rappeler, mais j'avais deviné.

Posté par
EvDavidre : Théorème sur les séries commutativement convergentes 16-05-17 à 23:27

Bonsoir,

Vous avez dit :

verdurin @ 16-05-2017 à 22:45


Comme \sum_{n=0}^N \lvert U_n\rvert\le\sum_{n=0}^{N'}\lvert U_{\varphi(n)}\rvert


Je vois qu'on amènera le premier terme vers la droite, mais je ne vois pas d'où peut-on avoir la valeur absolue et à l'intérieur la difference des deux sommes. Je suppose que c'est une inégalité classique ? ( Il y'a la diffèrence , je pense a \left|\left|x \right|-\left|y \right| \right|\leq \left|x-y \right| mais ce n'est pas notre cas puisqu'on veut se débarasser totalement des valeurs absolues autour des termes Uk et U(k) )

Sinon pour
verdurin @ 16-05-2017 à 22:45


Ensuite

\sum_{n=N'+1}^{+\infty }{U_{\varphi(n)}} \leq \sum_{n=N+1}^ \infty {U_{n}} car, par définition de N', tous les termes de la première somme sont dans la seconde.


Je ne vois pas trop en fait aussi, car selon la démonstration , il existe N' tel que {0,1,...,N}{(0),(1),...,(N')} , est-ce donc pour cela , que pour N'+1 on aura {(N'+1),...}non inclus dans{0,,...N} donc inclus dans \{0,1,...,N} ? ( je ne sais si on peut dire ca , ca me parait correct si on choisit N' comme max, mais dans la démonstration... )

Je m'excuse d'ajouter ces questions...

Merci d'avance ^^

Posté par
verdurinre : Théorème sur les séries commutativement convergentes 17-05-17 à 00:11

Pour le premier point.
Si a\le b alors b-a\ge0 et |a-b|=b-a.

Pour le second.
On a {0,1 . . . , N}{(0),(1), . . . , (N')} et on en déduit de façon évidente que si n>N' alors (n)>N.
En effet est bijective et  l'on déjà obtenu tous les entiers entre 0 et N.
J'aurais du me souvenir que l'on ne voit plus du tout ce genre de choses avant le bac.

Posté par
EvDavidre : Théorème sur les séries commutativement convergentes 17-05-17 à 09:13

Bonjour,

Merci pour votre réponse. J'ai compris le second point.
Sinon pour le premier j'ai toujours quelques ambiguetés.  Il est bien clair que pour un réel positif sa valeur absolue est égale à lui. Dans notre cas on obtient : \left|\sum_{n=0}^{N'}{\left|U\varphi(n) \right| }-\sum_{n=0}^{N}{\left|U_{n} \right| } \right| = \sum_{n=0}^{N'}{\left|U\varphi(n) \right| }-\sum_{n=0}^{N}{\left|U_{n} \right|}
Or on cherche à enlever la valeur absolue autour des Uk et U(k)

Posté par
carpediemre : Théorème sur les séries commutativement convergentes 17-05-17 à 13:20

salut
s(n) = \sum_0^n u_k \\ t(n) = \sum_0^n u_{f(k)}

s(\infty) - t(\infty) = s(\infty) - s(n) + s(n) - t(m) + t(m) - t(\infty)

il suffit de prendre la valeur absolue et en appliquant l'inégalité triangulaire on obtient :

|s(\infty) - t(\infty)| = |s(\infty) - s(n) + s(n) - t(m) + t(m) - t(\infty)| \le |s(\infty) - s(n)| + |s(n) - t(m)| + |t(m) - t(\infty)| = \sum_{n + 1} |u_k| + |s(n) - t(m)| + \sum_{m + 1} |u_{f(k)}|

puisque je prends les valeurs absolues je prends une série à termes positifs (pour  m'éviter cette écriture des valeurs absolues)

on choisis alors m tels que \{0, 1, ..., n\} \subset \{0, 1, 2, ..., m\} avec m =   Max  \{f(i)  /  0 \le i \le n\} comme tu l'as bien vu

alors puisque la série \sum u_n converge

donc puisque k >= n + 1 => f(k) >= m + 1 >= n + 1 (sinon m n'est pas le maximum)  on en déduit que \sum_{m + 1} u_{f(k)} \le \sum_{n + 1} u_k

reste le terme du milieu : x = \sum_0^n u_k - \sum_0^m u_{f(k)}

alors |x| \le \sum_{n + 1}^m |u_k| \le \sum_{n + 1} |u_k|} (là je suis obligé de remettre des valeurs absolues du fait de la soustraction)

on obtient donc bien le résultat demandé ...

Posté par
EvDavidre : Théorème sur les séries commutativement convergentes 17-05-17 à 22:06

Bonsoir ,

Merci énormement carpediem . J'ai compris maintenant .

Merci encore a vous verdurin pour vos reponses et votre patience et je m'excuse pour ma lente comprehension.

Posté par
carpediemre : Théorème sur les séries commutativement convergentes 17-05-17 à 23:13

de rien

Posté par
EvDavidre : Théorème sur les séries commutativement convergentes 18-05-17 à 10:50

Juste comme dernière remarque ( car j'ai re révisé cette demonstration ) je pense que :

carpediem @ 17-05-2017 à 13:20


alors |x| \le \sum_{n + 1}^m |u_k| \le \sum_{n + 1} |u_k|} (là je suis obligé de remettre des valeurs absolues du fait de la soustraction)

Il faudrait avoir \sum_{n+1}^{m}{\left|U_{f(k)} \right|}

Posté par
carpediemre : Théorème sur les séries commutativement convergentes 18-05-17 à 11:54

oui mais par définition de m si k > n alors f(k) > m > n ...

Posté par
EvDavidre : Théorème sur les séries commutativement convergentes 18-05-17 à 14:10

Bonjour,

Oui oui je suis totalement d'accord avec vous .  Juste au cas où une personne relie le sujet et se demande si la somme au milieu il doit y avoir un f(k) ou un k seulement ^^ .

Posté par
carpediemre : Théorème sur les séries commutativement convergentes 18-05-17 à 14:20

carpediem @ 18-05-2017 à 11:54

oui mais par définition de m si k > n alors f(k) > m > n ...
et si tu veux tu peux faire cette majoration intermédiaire ...

Posté par
EvDavidre : Théorème sur les séries commutativement convergentes 19-05-17 à 13:21

Merci encore ^^

Posté par
carpediemre : Théorème sur les séries commutativement convergentes 19-05-17 à 16:16

de rien


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