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Théorie de Cauchy

Posté par
fusionfroide 02-02-07 à 19:40

Salut

Je dois calculer 4$I=\int_{\gamma}(2+z+\frac{1}{z})\frac{f(z)}{z}dz avec 4$\gamma(t)=exp{it}

Donc j'applique la définition d'une intégrale curviligne...mais comment gérer le 4$f(exp{it}) ? Faut-il le laisser ou le tranformer ??


Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie de Cauchy 02-02-07 à 19:49

Bonsoir fusionfroide

f c'est quoi ? une fonction holomorphe ?
Dans ce cas, il faut utiliser la formule de Cauchy et donc sans expliciter les calculs.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 02-02-07 à 19:52

Salut Kaiser,

Oui 4$f \in H(U) désolé !

Je vais voir ça, merci !

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 02-02-07 à 19:55

Mais la formule de Cauchy fait bien intervenir l'indice, non ?

Il faudra donc le calculer ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie de Cauchy 02-02-07 à 20:01

L'indice ne fait pas intervenir f.
De plus, dans ton cours, tu as sûrement du voir que l'indice correspond au nombre de fois que l'on tourne d'un certain point.
Ici, il vaut 1.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 02-02-07 à 20:05

Oui exactement, mais comment vois-tu qu'il vaut 1 directement ?

Excuse-moi je viens de voir cette formule aujourd'hui et je m'essaie à quelques exos !

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie de Cauchy 02-02-07 à 20:09

Tu n'as pas à t'excuser !

Citation :
mais comment vois-tu qu'il vaut 1 directement ?


"directement" est peut-être mal choisi ! à force de calculer des intégrales et des indices, on est rôdé !
Sinon, tu peux le recalculer, ça se fait rapidement !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 02-02-07 à 20:09

En fait c'est un cercle non ?

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 02-02-07 à 20:10

Ah oui je me souviens de cette formule !

Oublie le message précédent

Oserai-je une autre question ?

Oui je la prépare elle n'est pas longue du tout !

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie de Cauchy 02-02-07 à 20:14

Mais vas-y, je t'en prie ! Il faut oser dans la vie !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 02-02-07 à 20:34



Donc voilà

Je dois calculer \Large{\int_{\gamma} \frac{dz}{z} avec \gamma(t)=a^2cos(t)+ib^2sin^2(t)}

On voit que l'on aura un quotient de la forme u'/u

Mais là je dois bien faire intervenir la détermination du log, non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie de Cauchy 02-02-07 à 20:46

Tu peux mais en fait, c'est plus simple que ça !

Essaie de faire un dessin !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 17:18

Re kaiser,

Pour revenir au premier exo, à quoi appliquer la formule de Cauchy ??

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 17:18

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 20:56

re fusionfroide

l'intégrale se découpe en trois morceaux :

l'intégrale de f(z) : celle-ci est nulle car f est holomorphe et qu'on intègre sur un lacet (au fait, f est holomorphe où ça ?), l'intégrale de \Large{\frac{f(z)}{z}} et celle de \Large{\frac{f(z)}{z^{2}}}.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 21:53

Salut kaiser

Comment vas ?

f est holomorphe sur U un ouvert de C

Je regarde ce que tu me proposes !

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 21:55

Ok donc j'ai 4$I=2\int_{\gamma} \frac{f(z)}{z}dz+\int_{\gamma}\frac{f(z)}{z^2}dz

Ok et ensuite, je ne vois pas trop où appliquer la formule de Cauchy !

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 21:59

Citation :

Comment vas ?


Très bien et toi !

Citation :
f est holomorphe sur U un ouvert de C


On ne sait rien d'autre de cet ouvert (il contient au moins le disque unité ouvert ? )

Pour la formule de Cauchy, applique la en 0 (ça c'est pour la première intégrale).

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 22:04

Citation :
Très bien et toi !


Pareillement :D

Dans l'énoncé, on dit que U est un ouvert de C contenant 4$\bar{D}

Par contre, je n'ai aucune idée de ce qu'est ce 4$\bar{D}, aucune autre info !

Sinon je vais essayer avec la formule de Cauchy, merci

Au fait, pour l'histoire de l'indice, pour le calculer, il faut bien déterminer : 4$ind_{\gamma}(a)=\frac{1}{2i\pi}\int_0^{2\pi} \frac{\gamma^'(t)}{\gamma(t)-a}dt avec 4$\gamma(t)=exp{it} ??

Mais ici que vaut a ?

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 22:07

C'est bien ce que je pensais : 4$\bar{D} désigne le disque une unité fermé (c'est-à-dire l'ensemble des complexes de module inférieur ou égal à 1).

Pour l'histoire de l'indice, on a a=0.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 22:09

D'accord, mais pourquoi a=0

Pardonne moi pour ces questions un peu naïves...

Mais c'est vrai que pour a=0, je trouve bien que l'indice vaut 1

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 22:13

La formule de Cauchy dit que :

\Large{f(a)Ind_{\gamma}(a)=\frac{1}{2i\pi}\bigint_{\gamma}\frac{f(z)}{z-a}dz}

L'intégrale de droite c'est exactement ce que tu cherches à calculer avec a=0.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 22:16

Oui ça je l'avais trouvé

En fait cela m'avait étonné que tu avais (sans calculs ?) trouvé l'indice, et ce, avant que j'applique la formule de Cauchy.

Voili voilou

Je te tiens au courant pour le reste

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 22:20

Citation :
En fait cela m'avait étonné que tu avais (sans calculs ?) trouvé l'indice, et ce, avant que j'applique la formule de Cauchy.


Comme je te l'ai dit hier, à force d'étudier ce genre de chose, à un moment, on n'a plus besoin de le calculer car on sait que l'indice correspond au nombre de tours que l'on fait autour de 0. De plus, ici, il s'agit d'un lacet qui correspond à un cercle et pour des lacets plus compliqués (qui se recoupent par exemple), il faut bien sûr refaire le calcul.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 22:20

Je procède de la même manière pour la seconde intégrale ?

Suffit-il de trouver le bon a ?

ne me donne pas la réponse, merci :D

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 22:24

Citation :
Je procède de la même manière pour la seconde intégrale ?

Suffit-il de trouver le bon a ?


Le truc c'est qu'il faut se souvenir d'une sorte de formule de Cauchy généralisée que tu as dû voir en cours.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 22:28

Oh non, je nepeux pas continuer l'exo

On ne voit cette formule que dans le prochain cours, i.e demain .

Bon, eh bien merci beaucoup kaiser pour toute ton aide.

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 22:29

PS : c'est un exo que j'avais pris au pif dans le TD

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 22:30

Citation :
On ne voit cette formule que dans le prochain cours, i.e demain .


J'ai l'impression que tu seras seul !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 22:31

lundi je voulais dire

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 22:31

Mais on peut peut-être s'en tirer autrement !

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 22:32

:D

Citation :
Mais on peut peut-être s'en tirer autrement !


En fait, non ! désolé !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 22:33

Au fait pour revenir au second exo, on avait en fait :

4$\gamma(t)=a cos(t)+bsin(t)

Faut-il toujours ici s'aider d'un dessin ?

Mais je dois tracer 4$\gamma* ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 22:38

c'est quoi l'étoile ?
Autre chose : tu n'aurais pas oublié un i ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 22:39

Oui pardon pour le i.

L'étoile c'est pour siganaler qu'on parle du support géométrique de 4$\gamma et je n'aurai peut-être pas du la mettre

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 22:44

Citation :
je n'aurai peut-être pas du la mettre


En fait, c'est simplement pour éviter de confondre le support et le paramétrage.

Sinon, pour répondre à ta question, tu peux effectivement t'aider d'un dessin.
Autre chose : je suppose que tu sais ce que sont deux chemins homotopes et que tu as vu un résultat concernant les indices et les lacets homotopes.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 22:50

euh non rien sur les lacets homotopes : nous avons juste vu l'opposé d'un chemin et la juxtaposition de deux chemins...

Là encore c'est un exo tiré au hasard.

je crois que je vais devoir encore attendre un peu.

Une dernière précision : quand on dit que l'on "trace" une courbe paramétrée, on représente son support ?

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 22:54

Citation :
euh non rien sur les lacets homotopes : nous avons juste vu l'opposé d'un chemin et la juxtaposition de deux chemins...

Là encore c'est un exo tiré au hasard.


Bon OK !

Citation :
quand on dit que l'on "trace" une courbe paramétrée, on représente son support ?


euh... oui ! Comment tu comprenais ça sinon ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 23:04

Non c'est bon, c'était juste un instant de doute

bon dimanche kaiser et merci encore pour ton aide

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie de Cauchy 03-02-07 à 23:08

Mais je t'en prie !
Bon dimanche à toi aussi !

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 04-02-07 à 12:30

Re kaiser,

Je suis aller voir sur Internet pour la formule de Cauchy généralisée.

Donc on aurait : 4$f^'(0)=\frac{1}{2i\pi}\int \frac{f(u)}{u^2}du

Le problème est que l'on intègre sur C(0,r) mais est-ce qu'ici il correspond à gamma ?

Merci

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 04-02-07 à 12:31

Je suis allé

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie de Cauchy 04-02-07 à 12:53

re fusionfroide

En fait, cette valeur ne dépend pas de la valeur de r (tant que le disque fermé de rayon r est inclus entièrement dans le domaine d'holomorphie).

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 04-02-07 à 13:07

Ok j'ai compris.

Donc on a : 4$I_1=4i\pi f(0)+2i\pi f^'(0) ?

Et le calcul s'arrête là ?

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie de Cauchy 04-02-07 à 13:12

Il me semble que l'on ne peut plus faire grand chose à ce stade !
Donc c'est bon, on s'arrête là !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 04-02-07 à 16:00

Toujours là ? :D

Dans mon cours, on a définit : 4$\sigma^{\lambda} : t->a_0+R exp{i\lambda t} de 4$I=[0,2\pi] dans 4$\mathbb{C}

Ca peu paraître bizarre, mais je ne vois pas pourquoi pour 4$\lambda=\frac{1}{2}, on obtient le demi-cercle.

Pourrais me l'expliquer ?

Merci

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 04-02-07 à 16:48

Au fait, le théorème des résidus est-il inclus dans le cours variables complexes ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie de Cauchy 04-02-07 à 16:53

Je suis toujours là ! Je réfléchis à ton problème !

Citation :
Au fait, le théorème des résidus est-il inclus dans le cours variables complexes ?


oui !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Théorie de Cauchy 04-02-07 à 16:57

Merci kaiser

PS : j'ai réussi à finir l'exo avec les formules de Cauchy, merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Théorie de Cauchy 04-02-07 à 17:21

les complexes qui s'écrivent \Large{a_{0}+R \exp(i\frac{t}{2})} sont des élément du cercle de centre \Large{a_{0}} et de rayon R.
Lorsque t parcourt cet intervalle, t/2 parcourt la moitié de l'intervalle donc on a un demi-cercle.
Plus précisément, on obtient tous les complexes z tel que \Large{z-a_{0}} ait un argument compris entre 0 et \Large{\pi}. (fais un dessin).

Kaiser


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