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theorie de la mesure
bonjour tt le monde,
j ai une question concernant un exercice que je dois resoudre:
nous avons une suite fn n» 1 de fonctions mesurables definies sur un meme espace mesuré (omega,F, mu) et a veleurs dans un espace metrique (E,D).on suppose que fn converge ponctuellement vers f. cad lim de fn(w)=f(w) qd n tend vers l infini.
la question est que je dois montrer que f est mseurable.
Bonjour sher_mery 
Tu dois prouver que l'image réciproque de tout ensemble mesurable de E est mesurable.
E étant métrique, sa tribu usuelle est engendrée par la topologie induite par sa distance.
Sa topologie est elle-même engendrée par les boules ouvertes de E du type B(u,r) où r>0
et u 
E, donc il suffit de prouver que pour tout r>0 et tout u de E,
est mesurable dans
.
Comme on sait que les fn sont mesurables, on va essayer de ramener l'écriture de à une écriture faisant intervenir les fn.
C'est donc le moment d'utiliser la convergence simple de fn vers f.
Que proposes-tu comme nouvelle écriture de , donc?
Tigweg
aucune idéePar définition, c'est l'ensemble des x tels que d(f(x),u) < r.
Comment traduire cela à l'aide des fn(x)?
Autrement dit: si x est tel que d(f(x),u) < r, pour quels entiers n ce sera encore vrai en remplaçant f par fn?
est ce que je peux dire que c est pour tout n vu que limfn(w) = f qd n tend vers l infini.
j avoue que je suis un peu perdue se sont des notions nouvelles
merci tigweg
En fait dire que fn(x)converge vers f(x) c'est dire que pour tout r (et lenotre est tout choisi!) il existe n telque pour tout m superieur à n etc...!
Essaie de traduire celaàl'aide des smboles U et inter
fn(w) converge vers f veut dire que la limsup de fn(w)=liminf fn(w)=f
et donc
inter U fn(w)= U inter fn(w)=f.
embarras: est ce que c'est cela.
Non!
Ca ne veut rien dire la réunion de fonctions!
Mais l'ensemble des x tels que f(x) soit à moins de r du point u, c'est l'ensemble des x pour lesquels il existe n tel que pour tout m>n, tous les f_m(x) sont à moins de r de u.
Essaie de t'en convaincre, puis traduis "il existe" par union et "pour tout" par inter
je recapitule,
il faut montrer que l image dans B(u,r) est mesurable dans omega.
pour cela il suffit d ecrire L'image en fonction de la suite f_n de fonctions mesurables.
l'image peut etre exprié comme suit :
c'est l'ensemble des x tels que d(f(x),u) < r.
et si je l'exprime
en fonction de l'union et de l'inter j ai le resultat suivant :
U(n) INTER (m»n) d(f_m(x),u)« r
est ce que c est cela en encore je suis à coté de la plaque
merci
C'est cela!
A part que c'est l'image RECIPROQUE de B(u,r) par f et pas l'image tout court 
Montre bien les deux inclusions:
de gauche à droite, c'est la définition de la limite combinée avec l'inégalité triangulaire;
de droite à gauche, c'est la continuité de l'application distance sur l'espace produit ExE.
(si pour tout m>n, d(f_m(x), u)
Ainsi:
.
Or les fm sont mesurables (donc...), une réunion dénombrable d'ensembles mesurables l'est encore, une intersection dénombrable d'ensembles mesurables l'est encore, donc...
Tigweg
merci bcp
je comprend mnt ta logique . ceci dis si jammais tu a de la documentation sur la theorie de la mesure , les proba j aimerais bien que tu me la passe si tu ne voie pas d'incovenient bien sur.
encore merci.
Je t'en prie.
Mais je ne travaille pas du tout sur le net...
Ma seule documentation, c'est mes cours de fac et es bouquins!
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