salut

intervalle [0, 10] ? donc tous les réels entre 0 et 10 ?

je ne comprends pas ces trois phrases :

Merci pour ta réponse, en effet il n'est pas préciser si ce sont des réels entre 0 et 10 dans l'énoncer. Je rectifie mes réponses car ce n'était pas clair mais je ne suis toujours pas sûr.

Cependant, la tribu engendrée est la plus petite tribu contenant tous les éléments de la famille.
Dans ce cas, la tribu produite sur l'intervalle [0, 10] par la famille {[1, 5], [7, 8]} contient tous les sous-ensembles de [0, 10] qui peuvent être obtenus en utilisant des unions, des intersections et des compléments de {[1, 5], [7, 8]}.

L'ensemble vide {}
L'intervalle [0, 10]
Les intervalles [1, 5] et [7, 8]
Les unions de [1, 5] et [7, 8] : [1, 5] ∪ [7, 8]
Les intersections de [1, 5] et [7, 8] : [1, 5] ∩ [7, 8]
Les compléments de [1, 5] et [7, 8] dans [0, 10] : [0, 1) ∪ (5, 7) ∪ (8, 10]
En tout, cela fait six sous-ensembles possibles. Je ne sais pas si c'est correct.

c'est un peu mieux ...

notons E = [0, 10] et A* le complémentaire de A pour simplifier

E - [1, 5] = [1, 5]* = ...
E - [7, 8] = [7, 8]* = ...

au "premier niveau" il a :
E, E* = {}, [1, 5] et [7, 8] et l'union, l'intersection et le complémentaire de tous ces ensembles

au "deuxième niveau" il y a l'union, l'intersection et le complémentaire de tous les ensembles obtenues au premier niveau

et ainsi de suite ...

PS : union et intersection d'un nombre quelconque dénombrable d'ensembles


si je commence il y a :

E, E*, I = [1, 5], I* = [0, 1[ U ]5, 10], J = [7, 8], J* = [0, 7[ U ]8, 10], I U J = [1, 5] U [7, 8], I n J = E* = {}

puis je recommence par union, intersection et complémentaire ...

ça me semble faire pas mal de beaucoup d'ensembles tout ça ... bon mais peut-être pas tant que ça finalement !!

Du coup  il y a une infinité d'événements dans la tribu produite par la famille {[1, 5], [7, 8]} sur l'intervalle [0, 10] ?

Cela est dû au fait que les opérations d'union, d'intersection et de complément peuvent être répétées un nombre infini de fois, ce qui donne lieu à une infinité de sous-ensembles possibles et puisque chaque élément de cette famille peut être combiné de façon dénombrable, il y aura une infinité de combinaisons possibles et donc une infinité d'événements dans la tribu produite ?

enfin faudrait quand même essayer encore un tour (tu en as 6 et j'en ai 7) mais en recommençant une étape on voit pat exemple que I U J* = J*

donc à voir ...

Ca fait tellement que je n'ai pas eu ce genre de raisonnement que ça coince un peu... mais en refaisant des tours je retombe sur 7 évènements du coup

ensuite il apparait (I U J)* = [0, 1[ U ]5, 7[ U ]8, 10]

puis I U (I U J)* = ...
et J ( I U J)* = ...

ça me semble encore des nouveaux ceux là ...

Oui ce sont encore des nouveaux.. sinon si je sais que le nombre de sous-ensembles d'un ensemble fini avec n éléments est 2^n.

Du coup je peux dire qu'il y a 2^7 = 128 ensembles distincts dans la tribu engendrée par {[1, 5], [7, 8]} ?

non ça ne marche pas comme ça !!

un ensemble fini étant donné tu as raison mais ici c'est différent :

tu pars de la partie P = {[1, 7], [7, 8]} de E = [0, 10] et tu veux obtenir la tribu engendrée par P

donc tu considères toutes les unions ou intersections d'ensembles ou de de leur complémentaire "déjà" obtenus ...

ça me semble faire donc "très beaucoup" d'ensembles !!

désolé de ne pouvoir t'aider plus ... et j'aimerai bien avoir la réponse aussi

Bonjour,

J'ai eu le même raisonnement que vous, mais je n'ai pas réussi à aboutir à une solution.

Auriez-vous réussi à résoudre le problème ?

Non toujours pas une réponse fiable pour ma part ^^'

Bonsoir,
on peut remarquer que les ensembles [0;1[, [1;5], ]5;7[, [7;8] et [8;10]  forment une partition de l'ensemble [0;10] ce qui garanti que la tribu engendrée par ces ensembles à 2⁵ éléments et il est évident qu'elle contient la tribu engendrée par [1;5] et [7;8].
Celle ci a donc au plus 32 éléments.
Ensuite on peut se poser la question : est-il possible d'obtenir ]5;7[ par union, intersection et passage au complémentaire à partir de [1;5] et [7;8] ?

bonjour,
merci pour ta réponse.

il n'est pas possible d'obtenir l'ensemble ]5, 7[ à partir de [1, 5] et [7, 8] par des opérations d'union, d'intersection et de complément, car il s 'agit d'un intervalle ouvert qui ne peut pas être représenté par des combinaisons d'intervalles fermés ou ouverts ?
Donc il a 31 éléments?

Bonjour,
on ne peut pas l'obtenir parce qu'il impossible de le séparer de [0;1[ et de ]8;10].

On peut remarquer que I=[1;5], J=[7;8] et K=[0;1[ ]5;7[]8;10]=I*J*=(IJ)* forment une partition de l'univers.
Ce qui permet de déterminer le nombre, assez petit, d'éléments de la tribu engendrée par I et J.

Une remarque : il faut voir pourquoi le fait d'avoir une partition est important.

Comme la tribu produite par la famille {[1,5], [7,8]} est contenue dans la tribu produite par {[0,1[,[1,5],]5,7[, [7,8 ],[8,10]}, et comme ces ensembles forment une partition de l'ensemble [0,10], on peut déduire que la tribu engendrée par la famille {[1,5], [7,8]} a au plus 2^5 = 32 éléments.

est-ce une réponse suffisante à la question ? ou bien il faut trouver le nombre exact ?

PS: Effectivement, le fait d'avoir une partition est important car cela garantit que tout élément de l'ensemble de base peut être exprimé comme une combinaison d'éléments des ensembles de la partition

Elle est engendrée par la partition {I,J,K}.
Tous les événements sont obtenus par union ( éventuellement vide ) des éléments de la partition.

Donc 2^3 ?

Oui.

Bonjour, ce topic tombe à pic, ils posent exactement le même problème pour l'inscription d'un master de mathématiques et applications, haha.

Bonsoir NonoSwag.
Méfie toi, ils peuvent demander une démonstration.