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théorie des ensembles

Posté par nick (invité) 12-12-04 à 20:08

Comment démontrer (A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)
(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)

Posté par titimarion (invité)re : théorie des ensembles 12-12-04 à 20:13

Salut
tu peux le faire en prenant un élément appartenant à l'ensemble de gauche et vérifier qu'il est dans celui de droite et vice versa

Posté par titimarion (invité)re : théorie des ensembles 12-12-04 à 20:13

Si tu veux plus de détail reposte dans le même topic

Posté par nick (invité)re : théorie des ensembles 12-12-04 à 20:22

Oui j'en veux bien justement, on fait de la logique en ce moment, le prof nous dit de partir de la conclusion, de la conclusion mais la je vois pas comment partir de la conclusion
J'aimerais bien oir comment tu découpe me (AetB)ouC inclus ds le membre de droite pour le premier par exemple...

Posté par
isisstruiss
re : théorie des ensembles 12-12-04 à 20:31

Ok, partons de la conclusion et procédons comme Titimarion nous a proposé et prenons un élément x de l'ensemle à étudier, c'est-à-dire
x\in (A\cup C)\cap (B\cup C)
On a x\in A\cup C\text{ et } x\in B\cup C
Je te laisse continuer et si tu rencontre encore des problèmes il suffit de te manifester.

Isis

Posté par Dasson (invité)re : théorie des ensembles 12-12-04 à 20:55

Bonjour,
A, B et C étant des parties d'un ensemble E, il s'agit de démontrer une distributivité dans l'ensemble des parties de E.

On peut "voir" sur un dessin avec trois patates.

On peut traduire avec des ou, et :
xE (x(AB)C) équivaut à ((x(AB)) ou (xC)) etc... et admettre une distributivité du "ou" sur le "et".

Une démonstration est possible avec une table de vérité.
Colonnes d'entrée avec xA, xB, xC, x(AB) ...
Huit lignes (VVV, VVF...) à compléter pour faire apparaître les tables de vérité qui correspondent aux ensembles considérés.
Bon courage!

Posté par nick (invité)re : théorie des ensembles 12-12-04 à 21:05

Je découpe aussi l'hypothèse?

Posté par nick (invité)re : théorie des ensembles 12-12-04 à 21:09

Une autre chose qui m'embete un peu ds la théorie es ensemble pourquoi
{\empty } est different de \empty et
P(\empty ) different de \empty

Posté par titimarion (invité)re : théorie des ensembles 12-12-04 à 21:11

Je te fais le premier entièrement et tu devrais pouvoir comprendre pour le deuxième
Si tu as x\in (A\cap B)\cup C
cela veut dire que soit x\in A et x\in B et donc x\in (A\cup C) et x\in (B\cup C)
Ce qui implique que x est dans ton deuxième ensemble par définition de celui ci
Deuxième cas x\in C cela implique que x\in(A\cup C) et x\in(B\cup C) et donc x appartient a ton deuxieme ensemble
  Cela te permet d'avoir l'inclusion de ton premier ensemble dans le second et tu peux le faire dans l'autre sens pour avoir l'égalité des ensembles.

Posté par titimarion (invité)re : théorie des ensembles 12-12-04 à 21:13

Petit souci avec latex je voulais dire que si x\in C
Alors on a x\in (A\cup C)
et x\in (B\cup C) et tu peux ensuite conclure pour l'inclusion

Posté par titimarion (invité)re : théorie des ensembles 12-12-04 à 21:13

Je n'ai pas trop compris tes questions a propos de l'ensemble vide

Posté par
Nightmare
re : théorie des ensembles 12-12-04 à 21:14

Erreur réparé titimarion

Posté par titimarion (invité)re : théorie des ensembles 12-12-04 à 21:19

Merci nightmare

Posté par Dasson (invité)re : théorie des ensembles 12-12-04 à 21:22

Découper l'hypothèse?
Aux colonnes indiquées, ajouter (AinterB)UC, AUC, BUC, (AUC)inter(BUC).
Les colonnes qui correspondent aux ensembles en question sont identiques...

{} est l'ensemble qui a pour seul élément
est l'ensemble vide (pas d'élément!)

Posté par nick (invité)re : théorie des ensembles 12-12-04 à 21:28

{\empty} est l'ensemble qui a pour seul élément
oh la la, c normal que ça retourne comlètement mon cerveau ? ça vous a paru évident à vus du premir coup?

Posté par
Nightmare
re : théorie des ensembles 12-12-04 à 22:51

Bonjour

Voici une autre maniére de le démontrer que :

(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup C)

On sait que :

A=(A\cap B)\cup (A\cap \bar{B}) pour tout ensemble A et B

On peut donc dire :

A=(A\cap B\cap C)\cup(A\cap B\cap \bar{C})\cup(A\cap \bar{B}\cap C)\cup(A\cap\bar{B}\cap\bar{C})

et :
B\cup C=(A\cap B\cap C)\cup(A\cap B\cap \bar{C})\cup(A\cap\bar{B}\cap C)\cup(\bar{A}\cap B\cap C)\cup(\bar{A}\cap B\cap\bar{C})\cup(\bar{A}\cap\bar{B}\cap C)

On en déduit :
A\cap(B\cup C)=(B\cup C)=\[(A\cap B\cap C)\cup(A\cap B\cap \bar{C})\cup(A\cap \bar{B}\cap C)\cup(A\cap\bar{B}\cap\bar{C})\]\cap\[(A\cap B\cap C)\cup(A\cap B\cap \bar{C})\cup(A\cap\bar{B}\cap C)\cup(\bar{A}\cap B\cap C)\cup(\bar{A}\cap B\cap\bar{C})\cup(\bar{A}\cap\bar{B}\cap C)\]

De plus dans deux ensembles , seuls les éléments communs font partis de leur intersections donc :
A\cap(B\cup C)=(A\cap B\cap C)\cup(A\cap B\cap \bar{C})\cup(A\cap \bar{B}\cap C)

De plus comme :
A\cup A=A donc :
A\cap(B\cup C)=(A\cap B\cap C)\cup(A\cap B\cap \bar{C})\cup(A\cap B\cap C)\cup(A\cap \bar{B}\cap C)
c'est a dire en revenons a ma premiére propriété :
A\cap(B\cup C)=(A\cup C)\cap(B\cup C)

Bon , c'est un peu plus long et laborieux mais c'est toujours une autre facon de faire


Jord

Posté par
franz
re : théorie des ensembles 12-12-04 à 23:33

Je reviens sur les notations \large \empty {\rm et} \{\empty\}
Non ce n'est pas évident
Il faut bien saisir la nuance entre un ensemble d'une part et un ensemble d'ensembles d'autre part.

Si on considère par exemple l'ensemble A composé de 2 éléments a et b.
On écrit A=\{a,b\}

Si on considère à présent les différentes façons de choisir des éléments de A, soit on en choisit aucun, soit on en choisit 1 (a ou b) soit on choisit les 2.On obtient tous les sous-ensembles de A que l'on note {\mathcal P}(A).
{\mathcal P}(A)=\{\empty,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}

A présent on refait le même raisonnement avec A qui ne contient aucun élément.
A=\empty
Dans ce cas, il y a un seul sous ensemble de A qui est le sous-enseble vide \empty et donc {\mathcal P}(A)=\{\empty\}\neq \empty.

On peut pousser le raisonnement plus loin en écrivant
{\mathcal P}({\mathcal P}(\empty))=\{ \empty, \{\empty\} \}
{\mathcal P}({\mathcal P}({\mathcal P}(\empty)))=\{ \empty \;,\; \{\empty\} \;,\; \{\{\empty\}\} \;,\; \{ \empty, \{\empty\} \} \;\} ...



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