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théorie intégration
Bonjour, j'ai un DM à rendre et je rencontre quelque difficultés :
1/ lim de l'intégrale ( 0 à PI/2) [racine carré(nsin(x/n)) dx] ?
n→∞
j'ai trouvé la majoration racine carré de x et en intégrant j'ai trouvé (pi/2)^(3/2) * 2/3 grâce au théorème de convergence dominée
2/Soit f : |R → |R une fonction intégrable sur |R et (an) ∈ R+ /0 telle que somme[(an)^-1] < +infini. On pose fn(x) = f(an, x).
a) montrer que la série SOMME( intégrale|fn(x)|dx ) est convergente
b) déduire que lim f(an*x) = 0 en l'infini pour presque tout x dans |R
Voilà si vous avez des pistes pour commencer je suis preneuse car je ne sais pas par où commencer .. Merci !
salut
à priori le théorème de convergence dominée ne permet pas de calculer une intégrale mais de justifier son existence ...
pourrais-tu nous détailler l'obtention de ton résultat ?
On pose fn(x) = f(an, x).
a-t-on une fonction à une ou deux variables ?
enfin il existe des liens (en dessous de ce cadre) pour écrire des indices ou des exposants : X2 et X2 car ce n'est guère lisible ...
salut
à priori le théorème de convergence dominée ne permet pas de calculer une intégrale mais de justifier son existence ..j'ai trouvé que (nsin(x/n)) tend vers x donc fn(x) ->racine(x)
pourrais-tu nous détailler l'obtention de ton résultat ?
On pose fn(x) = f(an, x).
a-t-on une fonction à une ou deux variables ?
enfin il existe des liens (en dessous de ce cadre) pour écrire des indices ou des exposants : X2 et X2 car ce n'est guère lisible ...
salut,
juste en passant.
\begin{aligned}
I_n=\int_0^\frac{\pi}{2}\sqrt{n\sin\left(\frac{x}{n}\right)}\mathrm{d}x
\end{aligned}
pour etre sur que tout le monde ait le meme affichage:
fn(x) est continue donc mesurable, elle est positive pour x [0, pi/2] et j'ai trouvé racine (x) comme majoration donc en appliquant le théorème de convergence dominée je rentre la limite dans l'intégrale et je calcule l'intégrale de racine(x) entre 0 et pi/2 et je trouve le résultat donné.
salut
à priori le théorème de convergence dominée ne permet pas de calculer une intégrale mais de justifier son existence ...
pourrais-tu nous détailler l'obtention de ton résultat ?
On pose fn(x) = f(an, x).
fn(x) = f(anx
a-t-on une fonction à une ou deux variables ?
enfin il existe des liens (en dessous de ce cadre) pour écrire des indices ou des exposants : X2 et X2 car ce n'est guère lisible ...
c'est surtout pour l'exercice 2 que j'aurai besoin d'aide car je ne sais pas du tout par où commencer ..
2/ le changement de variable devrait résoudre ton problème ...
PS : il est inutile de citer l'entièreté d'un msg qui rallonge inutilement les pages !! sélectionne ce qui t'intéresse ... comme je l'ai fait pour répondre ...
ok merci je ferai attention la prochaine fois
pour montrer la convergence de la somme de l'intégrale de |f(u)|du
je ne sais pas du tout comment faire même avec le changement de variable
1/ peut-être déjà finir/poursuivre raisonnablement le calcul
2/ tu as des hypothèses dans l'énoncé ...
ok donc l'intégrale est positive et somme(1/an) < +infini d'où le produit des deux est st inférieur à plus l'infini donc converge
voila c'est tout ?
merci
ce n'est pas que l'intégrale soit positive qui importe (c'est une évidence) mais surtout c'est que f est intégrable donc cette intégrale existe et est finie
ensuite la suite est croissante et majorée par sa limite qui est finie par hypothèse
b/ que peut-on dire de u_n si ?
si
alors somme 1/un tend vers 0 ??
b/ que peut-on dire de u_n si
ici on peut dire que un converge si sa somme est inférieure a l'infini
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