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Théromète de Césaro sur les suites.

Posté par
Matlaz 27-12-11 à 15:22

Bonjour à tous,

J'ai un exercice sur le théorème de Césaro sur les suites que je n'arrive pas à résoudre... pouvez vous me filer un coup de pouce?

Citation :
Soit u une suite réelle convergeant vers l . le but des deux premières questions est de montrer que la suite c définie ci-dessous converge vers l.

\forall n \ge 1  c_n = \frac{u_1 + u_2 + ... + u_n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n u_k

1. On suppose que le résultat est démontré lorsque l=0. En déduire le cas général.
2. Dans cette question, on suppose que l=0.
   a) Soit >0. Montrer qu'il existe un entier N tel que:
       \forall n \ge N  |c_n| \le  \frac{|u_1| + ... + |u_N-1|}{n} + \epsilon
   b) En déduire qu'il existe un entier N' tel que
       \forall n \ge N'  |c_n| \le 2\epsilon et conclure.
3. Réciproquement, si on suppose c convergente. Peut on en déduire que u est convergente?
4. Que dire si u est une suite réelle divergeant vers +?
5. a) Soit u une suite réelle telle que u_n+1 - u_n converge vers l. Montrer que:
       \lim_{n\to +\infty} \frac{u_n}{n} = l
   b) Soit u une suite de réels strictement positifs convergeant vers un réel l > 0. Montrer que:
       \lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n u_k} = l
6. Il s'agit désormais de montrer ces résultats en utilisant la méthode de la démonstration de Césaro.
   a) Soit u une suite réelle convergeant vers l. Montrer que la suite v définie ci-dessous converge vers \frac{l}{2}
       \forall n \ge 1  v_n = \frac{1}{n²} \sum_{k=1}^n ku_k
   b) Soit u une suite réelle convergeant vers l. Montrer que la suite v définie ci-dessous converge vers l.
       \forall n \ge 0  v_n = \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}u_k
   c) Soit u et v deux suites réelles. On définit la suite P(u,v) définie par:
       \forall n \ge 1  P(u,v)_n = \frac{u_1v_n + u_2v_(n-1) + ... + u_nv_1}{n}


Je suis parvenu à démontrer la 1 en posant Vn = Un - l
De même pour la question 2, c'est ok...
Pour la 3 j'ai trouvé un contre exemple avec la suite u_n = (-1)^n
La 4, j'ai montré que la suite Cn était toujours supérieur à un réel > 0, donc qu'elle tend aussi vers +

Par contre je bloque pour la 5 et la 6, je ne sais pas par où commencer...

Merci d'avance,

Matlaz.

Posté par
athrunre : Théromète de Césaro sur les suites. 27-12-11 à 16:32

Bonjour,

u_{n+1}-u_n\rightarrow l donc pourquoi ne pas poser v_n=u_n-u_{n-1} et regarder ce qui se passe ?

Posté par
kybjmre : Théromète de Césaro sur les suites. 27-12-11 à 16:32



Pour la 5a : Cesaro et v : n un+1 - un

Pour la 5b: Prend le log càd considère  w : n ln(un)

Pour la 6a: Tu écris vn = n²/Snwn où   Sn = 1n k .

Pour la 6b: Remarque que 0n C(n,k) = 2n

Posté par
Matlazre : Théromète de Césaro sur les suites. 27-12-11 à 18:46

Bonsoir Athrun et kybjm,

Pour la 5a, j'avais pensé à poser Vn de cette manière, on aurait donc Vn qui tend vers l. Mais ensuite? J'isole Un et je remplace? Mais je ne vois pas à quoi cela m'avance...

Pour la 5b, pourquoi prendre le logarithme? Pour simplifier la racine? De quelle manière?

Je vais voir pour la question 6, merci pour les pistes.

Bonne soirée,

Matlaz

Posté par
kybjmre : Théromète de Césaro sur les suites. 27-12-11 à 19:24

Pour la 5a : As-tu seulement regardé 1n vk .

Pour la 5b: pourquoi prendre le logarithme? Mais , entre autre , parce que le log d'un produit est la somme des log et qu'on voit mieux des additions que des produits .

Posté par
Matlazre : Théromète de Césaro sur les suites. 28-12-11 à 15:29

Bonjour,

5a: Oups, je n'avais pas fais attention à ca... Mais il reste tout de même le premier et le dernier terme. J'obtiens
\sum_{k=1}^n v_k = -v_1 + v_n+1

5b: Je suis bien d'accord, mais je ne vois pas vers où aller ensuite...

Posté par
Matlazre : Théromète de Césaro sur les suites. 28-12-11 à 15:29

(Dans la somme il s'agit bien de vn+1 et non vn +1)

Posté par
Matlazre : Théromète de Césaro sur les suites. 28-12-11 à 15:35

J'ai la tête dans les nuages...
Correction: \sum_{k=1}^n v_k = -u_1 + u_{n+1}

Posté par
kybjmre : Théromète de Césaro sur les suites. 28-12-11 à 15:39

Que te dit Césaro , puisque vn ?

Posté par
Matlazre : Théromète de Césaro sur les suites. 28-12-11 à 15:48

Alors \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n v_n
En simplifiant la somme il me reste toujours \frac{-u_1 + u_{n+1}}{n}

Posté par
athrunre : Théromète de Césaro sur les suites. 28-12-11 à 16:04

oui et \Large\frac{u_1}{n}\rightarrow ?

Posté par
Matlazre : Théromète de Césaro sur les suites. 28-12-11 à 16:19

En effet...
\frac{u_1}{n} 0
Donc \frac{u_{n+1}}{n} ce qui revient à \frac{u_n}{n}
Merci pour le coup de main.

Pour la 5b en utilisant les logarithmes j'arrive à
\sum_{k=1}^n log(\sqrt[k]{u_k}) mais je ne sais pas du tout quoi en faire par rapport à la limite...

Posté par
Matlazre : Théromète de Césaro sur les suites. 28-12-11 à 16:28

Ou plutôt \sum_{k=1}^n log(\sqrt[n]{u_k}) mais je ne sais pas quoi dire de la limite de ce terme...

Posté par
athrunre : Théromète de Césaro sur les suites. 28-12-11 à 16:34

\Large ^n\sqrt{a}=a^\frac{1}{n}

Posté par
Matlazre : Théromète de Césaro sur les suites. 28-12-11 à 16:52

Je n'y avais pas pensé...
En utilisant la propriété sur les puissances on retombe sur

\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n ln(u_k) ce qui se rapproche du théorème de Césaro mais le logarithme est toujours embêtant et on a perdu de vue la limite l d'origine...

Posté par
athrunre : Théromète de Césaro sur les suites. 28-12-11 à 17:15

On a :

\Large\forall n,\ u_n>0\ \text{et}\ u_n\rightarrow l>0.

Comme la fonction \ln est continue, on a \Large\ln u_n\rightarrow\ln l.

Ensuite ?

Posté par
Matlazre : Théromète de Césaro sur les suites. 28-12-11 à 18:07

\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n ln(u_k)   ln l
d'après Césaro.

D'où ln (\sqrt[n]{\prod_{k=1}^n u_k}) ln l

Et par continuité de la fonction ln je peux affirmer le résultat recherché?

Posté par
kybjmre : Théromète de Césaro sur les suites. 28-12-11 à 18:25

C'est plutot la continuité de exp

Posté par
Matlazre : Théromète de Césaro sur les suites. 29-12-11 à 15:38

En effet, j'ai compris, merci à vous deux .

Pour la 6a, je ne vois pas dans quelle direction cela mène d'écrire Vn de cette manière, es-tu sûr de ne pas avoir fait une erreur de frappe??

Posté par
kybjmre : Théromète de Césaro sur les suites. 29-12-11 à 16:15

Le théorème de Césaro classique se généralise ainsi :
Si a : * an est une suite de réels > 0 telle que n an = + et si u : * converge vers 0 alors la suite Cu : n 1n uk/1n ak tend aussi vers 0 .
Sa démonstration se fait comme pour le théorème de Césaro classique (où on prend a : n 1)

..C'est ce qu'on te demande de faire dans la question 6b. puisque 1n C(n,k) = 2n .

..Si on prend a : n n alors A(n) = 1n ak = n(n + 1)/2 et 1n uk/n² =  Cu .(n+1)/2n .
Si u 0 on a encore Cu 0.
Si u tend vers on utilise v = u - et Cu = Cv + C =  Cv + /2


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