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Tirage avec remise, sans ordre et avec ordre

Posté par
approximation 26-10-16 à 23:22

Bonsoir!
Je sais qu'un tirage sans remise et avec ordre se calcule grâce à un arrangement, et sans ordre avec une combinaison.

Je choisis de tirer p boules dans un sac de n boules.
Lorsque le tirage est avec remise et en tenant compte de l'ordre, on a :
n^{p}\times \frac{p!}{p!}
possibilités, avec le p! du numérateur le nombre de boules tirées en tout, et le p! du dénominateur le nombre de listes ayant des répétitions. Je m'explique :
Si on considère qu'il y a 7 boules numérotés dont 3 de couleur jaune et 4 de couleur bleue, le nombre de possibilités de tirer 3 boules avec 2 bleues et 1 jaune successivement avec remise est :
3\times\frac{1!}{1!}\times 4^{2}\times \frac{3!}{2!}

3! pour permuter toutes les possibilités,
Et 2! pour le cas où on se retrouve avec 2x la même boule bleue.

Est-ce que ce raisonnement tient la route ?


Maintenant, je choisis de tirer, avec remise, mais sans tenir compte de l'ordre.
Mais là y'a un problème, et j'ai beau chercher avec ma tête mais je ne vois pas comment, sans tenir compte de l'ordre, on peut "supprimer" les possibilités où on a plusieurs fois la même boule.
J'ai donc cherché sur internet et j'ai pu trouver quelque chose qui ressemble fortement à une résolution de mon problème : la "combinaison avec répétition", et c'est :
\Gamma (n,k) = \begin{pmatrix} n+k-1\\ k \end{pmatrix}

(à comprendre : k au-dessus et n en-dessous)

J'ai essayé de lui apporter des modifications pour revenir à une forme que je connais (une combinaison multipliée par quelque chose par exemple) , mais je n'ai pas réussi.
J'aimerais, si c'est la bonne formule, pouvoir la comprendre et surtout la retrouver, tout comme j'arrive à retrouver les combinaisons et arrangements à l'aide de schémas "logiques".

Je vous remercie par avance si vous m'apportez ne serait-ce qu'un indice!

Posté par
approximationre : Tirage avec remise, sans ordre et avec ordre 26-10-16 à 23:35

Correction : je comprends que c'est une combinaison de k parmi n-k-1 mais je ne comprends pas la logique derrière tout ça

approximation @ 26-10-2016 à 23:22


J'ai essayé de lui apporter des modifications pour revenir à une forme que je connais (une combinaison multipliée par quelque chose par exemple) , mais je n'ai pas réussi.

Posté par
approximationre : Tirage avec remise, sans ordre et avec ordre 26-10-16 à 23:36

approximation @ 26-10-2016 à 23:35

Correction : je comprends que c'est une combinaison de k parmi n-k-1 mais je ne comprends pas la logique derrière tout ça


Re-correction : n+k-1

Posté par
carpediemre : Tirage avec remise, sans ordre et avec ordre 26-10-16 à 23:42

salut

chez moi \dfrac {p!} {p!} = 1

il y a n^p façons de choisir un p-uplet (donc une liste ordonnée) de p objets avec répétition (ou remise) dans un ensemble à n objets

j'ai n choix pour le premier
j'ai n choix pour le second
...
j'ai n choix pour le p-ième

j'ai une liste ordonnée de p objets (arrangement avec répétition : voir )


maintenant si on considère un ensemble à n objets discernables et qu'on choisit p objets avec répétition on obtient effectivement une combinaison avec répétition .... qui ne tient pas compte de l'ordre (voir )

Posté par
approximationre : Tirage avec remise, sans ordre et avec ordre 27-10-16 à 12:03


Bonjour,
Oui nous sommes bien d'accord que \dfrac {p!} {p!} = 1
J'ai essayé d'expliquer ce que je pensais en ajoutant ça mais je pense que j'ai plus embrouillé qu'autre chose.
J'aimerais reprendre mon exemple pour être sûr de m'être bien exprimé, considérons dans un sac :
B1|B2|B3|B4|R1|R2|R3

Le nombre total de tirages successifs avec remise de 3 boules est bien 73 = 343
Mais, il est possible de la calculer différemment, en additionnant tous les cas possibles :

B|B|B : 43 possibilités
B|B|R : 42*3*3 possibilités
B|R|R : 4*32*3 possibilités
R|R|R : 33 possibilités

Et l'addition de tout cela nous donne bien 343 possibilités en tout.
Sauf que pour y arriver j'ai multiplié par 3 dans 2 des cas.
Cette multiplication est présente car ces mêmes cas peuvent être dispatchés en 3 cas avec les couleurs placées dans des endroits différents.
Et ce 3 (selon ma "logique" au départ) peut aussi être trouvé en multipliant par 3! pour permuter toutes les possibilités, et en divisant par 2! pour supprimer les doublons de même couleur et de même numéro.
Mais selon vos dires cette "logique" que je m'étais donnée n'est pas la "bonne" logique. Je vais donc me garder au premier raisonnement d'il y a 2 phrases

Pour ce qui est de la combinaison avec répétition, j'ai déjà regardé la page wikipédia, mais dans les démonstrations j'ai l'impression qu'elle essaie juste de retrouver la formule en l'"utilisant" (un peu comme la récurrence), mais j'aimerais la comprendre et pouvoir la retrouver avec rien, ce n'est peut être pas possible ?


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