bonsoir Djeffrey

Il suffit de se ramener au cas précédent en utilisant l'astuce suivante.
Tout d'abord comme A et B sont supposés non vides, alors l'ensemble {||x-y||, tel que x est dans A et y dans B} est non vide, inclus dans et minoré par 0, donc il admet une borne inférieure que l'on note .
Posons alors C={yⁿ tels que d(y,A)+1}B
(où d(y,A) désigne la distance de y à A).
La distance à une partie étant une application continue, C est donc l'intersection de 2 fermés dont l'un est borné (car A est borné, donc C est un compact. De plus, d'après la défintion de la borne inférieure, C est non vide.
On se rend alors compte que inf{||x-y||, tel que x est dans A et y dans B}=inf{||x-y||, tel que x est dans A et y dans C} qui est alors un minimum car on s'est ramené au cas précédent (A et C sont 2 compacts non vides), d'où le minimum est atteint.

j'espère que ces explications ne te paraîtront pas obscures.

Kaiser

bonjour kayser et Djeffrey,

je pense qu'il y a peut-etre moyen d'éviter de passer par la borne inférieure.

Si je ne me trompe pas, il suffit de fixer un y quelconque dans B.

On a alors (distance d'un compact à un compact)

On pose ensuite

C est compact car image réciproque d'un fermé par une application continue, et borné.

Et on conclue comme kayser, cad est non vide (car contient au moins y) et est compact.

Ensuite si il y a un minimum à ta fonction, (d(a,b) est minimum), alors b est dans C (car d(a,b)<=d(A,y)<alpha +1), qui est compact; on est donc revenu au cas précédent. Et on peut conclure.

La différence avec la démonstration de Kayser est que l'on peut choisir un y quelconque dans B. Le principe consiste en fait à ignorer tous les points de B dont la distance à A est plus grande que alpha+1 (car il ne peuvent etre des minimums), et on se retrouve avec un compact (C inter B).

Voila, j'espere avoir été clair et ne pas avoir fait d'erreurs

A plus,
Peej