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[TOPO] Intérieur d'une partie dense
Bonjour à tous,
J'ai besoin d'aide pour un exercice de topo que j'ai refait au moins 10 fois avec à chaque fois une erreur de raisonnement, j'espère que cette fois-ci c'est bon ou que vous pourrez la pointer du doigt
ENONCÉ :
Soit un espace métrique et
deux parties denses dans
telles que
.
Montrer que
MON IDÉE :
Supposons .
tel que
Or est dense dans
donc tout ouvert de
rencontre
, c'est-à-dire
tel que
Donc or
, donc
On raisonne de la même façon en inversant les rôles de et de
et on trouve
___________________
J'ai aussi essayé de résoudre l'exercice "algébriquement" puisqu'on sait que
denses dans
et on peut déduire de l'énoncé que
, mais je reste bloquée peu importe dans quelle direction je vais
Je vous remercie de votre attention et de vos idées
Autre méthode : la densité d'un ensemble signifiant qu'il rencontre tout ouvert non vide de E,
Si Int(B) était non-vide, alors A le rencontrerait. Mais Int(B) est inclus dans B, donc A rencontrerait B. Absurde. Par conséquent B est d'intérieur vide, et par symétrie du raisonnement, A aussi.
Autre méthode : la densité d'un ensemble signifiant qu'il rencontre tout ouvert non vide de E,
Si Int(B) était non-vide, alors A le rencontrerait. Mais Int(B) est inclus dans B, donc A rencontrerait B. Absurde. Par conséquent B est d'intérieur vide, et par symétrie du raisonnement, A aussi.
Magnifique réponse, c'est bien plus simple que mon raisonnement !
Merci beaucoup Ulmiere et carpediem ! Bonne soirée à vous
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