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Topologie
Bonjour à tous
Considerons deux espaces topologiques (X1,T1) et (X2,T2).
Je voudrais savoir si les projections
Pk : (X1 x X2)-> Xk (où k=1,2)
(x1,x2) -> xk
sont des applications ouvertes ? (mon cours dit que oui)
Si oui, sont-elles ouvertes pour n'importe quelle topologie de (X1 x X2) ?
Si c'est le cas on peut alors avoir le raisonnement suivant :
Considerons la topologie produit T1 x T2.
Soit V un ouvert de T1 x T2.
V peut s'ecrire : V=(A1 x A2) où A1 et A2 sont des parties de X1 et X2 respectivement.
Ecrivons les images de V par les projections P1 et P2
P1(V) = P1(A1 x A2) = A1
P2(V) = P2(A1 x A2) = A2
Or P1 et P2 sont ouvertes donc les images de V par P1 et P2 sont des ouverts donc A1 et A2 sont des ouverts de X1 et X2 respectivement.
Ce qui montre que tout ouvert de (T1 x T2) est un ouvert elementaire. Ce qui est faux !
Où est mon erreur ???
Salut diego 63 
Tous les sous-ensembles d'un produit cartésien ne sont pas eux-mêmes un produit cartésien!
Ainsi le disque ouvert de centre un point A et de rayon r > 0 dans le plan usuel est un ouvert de IR², mais pas un produit cartésien.
La proposition est vraie quels que soient tes espaces topologiques, à condirion de munir l'espace produit de la topologie produit (engendrée par les ouverts élémentaires)
Tigweg
Pfff oui c'est vrai, quel con je fait !
Merci beaucoup Tigweg.
Autre question :
J'ai un theoreme devant moi qui dit :
La topologie produit est la moins fine pour kaque les projections Pk soient continues.
La preuve qu'il y a dans le cours est toute en bordel j'y comprends rien
Mais non, ne sois pas sévère avec toi-même, ça arrive! 
Grosso modo, la topologie la moins fine est obtenue lorsqu'on met le moins d'ouverts possibles à l'intérieur.
Si la condition à réaliser est que chaque Pk soit continue, il faut AU minimum mettre dans la topologie de ton gros espace (l'espace produit) les images réciproques par les Pk des ouverts des Xk (puisque l'image réciproque d'un ouvert par une fonction continue doit encore être un ouvert).
C'est cela l'idée, tu comprends?
Tigweg
Bonjour
Je crois que tigweg (que je salue) est parti. Je prends la suite. Je suppose que la définition que l'on vous a donnée de la topologie produit consiste à dire qu'elle est engendrée par les ouverts élémentaires de la forme U1
U2.
Passons au théorème.
Soit T une topologie sur le produit. Si p1 est continue et si U1 est un ouvert de X1 alors p1-1(U1)=U1X2 est ouvert dans T. Puis vous voyez de la même manière que X1U2 est ouvert et enfin que leur intersection, c'est-à-dire U1U2 est ouvert. Les ouverts de la topologie produit sont donc parmi les ouverts de T.
Si tu décides de mettre encore plus d'ouverts dans la topologie de X1 x X2 ... x Xk , tes projections restent continues mais la topologie obtenue est plus fine (plus de parties du produit sont considérées comme ouvertes).
Si tu décides d'en mettre moins, cela revient à ne plus considérer comme ouvert l'image réciproque d'un certain ouvert O d'un certain Xi par Pi. Alors ça ne marche plus car Pi n'est plus continue.
Tigweg
OK je comprends.
Merci beaucoup de votre aide Camélia et Tigweg, c'est sympa.
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